Droite dans un repère et équation réduite

Ce qu'il faut comprendre

Imagine que tu veuilles décrire une droite tracée dans un repère. Par exemple, la pente d'une route ou la trajectoire d'un avion. L'équation réduite d'une droite est une formule simple qui permet de la représenter et de la manipuler facilement. Elle te donne deux informations essentielles :

la pente (ou coefficient directeur) : elle indique si la droite monte, descend ou est horizontale, et à quelle vitesse.
l'ordonnée à l'origine : c'est le point où la droite coupe l'axe vertical (l'axe des ordonnées).

Avec cette équation, tu peux tracer la droite, trouver des points dessus, ou comparer deux droites (sont-elles parallèles ? se coupent-elles ?). C'est un outil fondamental pour modéliser des situations réelles.

Les notions essentielles

Équation réduite d'une droite

Une droite non verticale a une équation de la forme :

y = mx + p

m est le coefficient directeur (ou pente).
p est l'ordonnée à l'origine.

Attention : Une droite verticale n'a pas d'équation réduite (car elle ne peut pas s'écrire sous la forme y = ...). Son équation est x = constante.

Coefficient directeur (pente)

La pente m mesure l'inclinaison de la droite. Elle se calcule à partir de deux points A(x_A; y_A) et B(x_B; y_B) :

m = (y_B - y_A) / (x_B - x_A)

Si m > 0, la droite monte (croissante).
Si m < 0, la droite descend (décroissante).
Si m = 0, la droite est horizontale.

Ordonnée à l'origine

C'est la valeur de y quand x = 0. Graphiquement, c'est le point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées (l'axe vertical).

Parallélisme

Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Attention : les droites verticales (x = constante) sont parallèles entre elles.

Intersection

Deux droites sécantes (non parallèles) se coupent en un point unique. Pour trouver ce point, on résout le système formé par leurs équations.

Méthode

1. Déterminer l'équation réduite à partir de deux points

Soient A(x_A; y_A) et B(x_B; y_B) deux points distincts.

Calculer le coefficient directeur m : m = (y_B - y_A) / (x_B - x_A) (Attention : si x_B = x_A, la droite est verticale, pas d'équation réduite)
Calculer l'ordonnée à l'origine p : On utilise l'équation y = mx + p. On remplace x et y par les coordonnées d'un des points (par exemple A) : y_A = m * x_A + p => p = y_A - m * x_A
Écrire l'équation : y = mx + p

2. Tracer une droite à partir de son équation réduite

Placer le point (0; p) sur l'axe des ordonnées.
Utiliser la pente : à partir de ce point, avancer de 1 unité horizontalement (vers la droite) et monter (ou descendre) de m unités verticalement. Placer un deuxième point.
Tracer la droite passant par ces deux points.

3. Vérifier si deux droites sont parallèles

Comparer leurs coefficients directeurs. S'ils sont égaux, les droites sont parallèles (ou confondues si en plus p est égal).

4. Trouver l'intersection de deux droites

On résout le système : { y = m1 x + p1 { y = m2 x + p2

En égalant les deux expressions de y : m1 x + p1 = m2 x + p2 On résout pour trouver x, puis on calcule y avec l'une des équations.

Exemple corrigé

Énoncé : On considère les points A(2; 3) et B(4; 7).

Déterminer l'équation réduite de la droite (AB).
Tracer cette droite.
La droite d'équation y = 2x - 1 est-elle parallèle à (AB) ?
Trouver l'intersection de (AB) avec la droite d'équation y = -x + 5.

Correction :

Calcul de m : m = (7 - 3) / (4 - 2) = 4 / 2 = 2

Calcul de p avec A : 3 = 2 * 2 + p => 3 = 4 + p => p = -1

Équation : y = 2x - 1
Tracé :
- Placer (0; -1) sur l'axe des ordonnées.
- Pente 2 : à partir de (0; -1), avancer de 1 à droite et monter de 2 : on obtient (1; 1).
- Tracer la droite passant par (0; -1) et (1; 1).
La droite (AB) a pour coefficient directeur 2. La droite donnée a aussi m = 2. Donc elles sont parallèles (et même confondues car p = -1 aussi).
On résout : 2x - 1 = -x + 5 2x + x = 5 + 1 3x = 6 x = 2 Puis y = 2*2 - 1 = 3 (ou y = -2 + 5 = 3). Le point d'intersection est (2; 3).

Erreurs fréquentes

Confondre pente et ordonnée à l'origine : m est la pente, p est l'ordonnée à l'origine. Ne pas les inverser.
Oublier que les droites verticales n'ont pas d'équation réduite : si x_A = x_B, la droite est verticale, on ne peut pas calculer m.
Erreur de signe dans le calcul de m : bien faire (y_B - y_A) / (x_B - x_A) dans le bon ordre.
Pour le parallélisme, oublier de vérifier les droites verticales : deux droites verticales sont parallèles, même si on ne peut pas calculer m.
Pour l'intersection, mal résoudre l'équation : attention aux signes quand on transpose.

À retenir

Équation réduite : y = mx + p (sauf droite verticale).
m = (y_B - y_A) / (x_B - x_A).
p = y_A - m x_A.
Parallélisme : mêmes coefficients directeurs.
Intersection : résoudre m1 x + p1 = m2 x + p2.

Pour s'entraîner

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