Fiche de révision : Comparer deux nombres par différence ou quotient
En bref
Pour comparer deux nombres a et b, on peut étudier le signe de leur différence a - b : si a - b > 0 alors a > b, si a - b < 0 alors a < b, si a - b = 0 alors a = b. On peut aussi comparer par quotient si les nombres sont strictement positifs : si a/b > 1 alors a > b, si a/b < 1 alors a < b, si a/b = 1 alors a = b. Ces méthodes s'appliquent aux fractions, puissances, racines carrées et ordres de grandeur.
Points clés
- Comparer par différence : a - b > 0 ⇔ a > b ; a - b < 0 ⇔ a < b ; a - b = 0 ⇔ a = b.
- Comparer par quotient (a, b > 0) : a/b > 1 ⇔ a > b ; a/b < 1 ⇔ a < b ; a/b = 1 ⇔ a = b.
- Pour comparer des fractions, on peut les réduire au même dénominateur ou utiliser le produit en croix.
- Pour comparer des puissances de même base, on compare les exposants ; pour des exposants égaux, on compare les bases.
- Pour comparer des racines carrées, on compare les radicandes (si a, b ≥ 0, √a < √b ⇔ a < b).
- L'ordre de grandeur permet une comparaison rapide en arrondissant à la puissance de 10 la plus proche.
- Attention aux signes : comparer par quotient n'est valable que si les deux nombres sont de même signe (strictement positifs ou strictement négatifs).
Définitions & formules
Comparaison par différence
a - b > 0 ⇒ a > b ; a - b < 0 ⇒ a < b ; a - b = 0 ⇒ a = b
Comparaison par quotient
Pour a, b > 0 : a/b > 1 ⇒ a > b ; a/b < 1 ⇒ a < b ; a/b = 1 ⇒ a = b
Ordre de grandeur
Valeur approchée d'un nombre à la puissance de 10 la plus proche (ex : 0,0035 ≈ 10^{-3})
Méthode flash
- 1Choisir la méthode : différence (toujours possible) ou quotient (si a et b > 0).
- 2Calculer a - b (ou a/b) en simplifiant (même dénominateur, factorisation, etc.).
- 3Comparer le résultat à 0 (ou à 1) et conclure sur l'ordre de a et b.
Exemple corrigé
Énoncé
Compare 3/4 et 5/7 par différence.
Résolution
3/4 - 5/7 = (21-20)/28 = 1/28 > 0, donc 3/4 > 5/7.
Pièges à éviter
❌ Faux : Utiliser le quotient sans vérifier que les nombres sont positifs.
✅ Correct : Le quotient n'est valable que si les deux nombres sont strictement positifs (ou strictement négatifs avec inversion du sens).
❌ Faux : Croire que a/b > 1 signifie a > b même si a et b sont négatifs.
✅ Correct : Si a et b sont négatifs, a/b > 1 signifie a < b (car multiplier par un négatif inverse l'ordre).
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