Fiche de révision : Calculer avec des puissances entières
En bref
Maîtrise les règles de calcul sur les puissances entières (produit, quotient, puissance de puissance), les fractions, les racines carrées, les unités et les ordres de grandeur. Savoir simplifier et comparer des expressions numériques.
Points clés
- Pour multiplier des puissances de même base : a^m × a^n = a^(m+n).
- Pour diviser des puissances de même base : a^m / a^n = a^(m-n) (a ≠ 0).
- Pour élever une puissance à une puissance : (a^m)^n = a^(m×n).
- Une puissance d'exposant négatif : a^(-n) = 1 / a^n (a ≠ 0).
- La racine carrée d'un nombre positif a est le nombre positif dont le carré vaut a : (√a)^2 = a.
- L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 la plus proche.
- Les fractions se simplifient en divisant numérateur et dénominateur par un même facteur.
Définitions & formules
Puissance entière
a^n = a × a × ... × a (n fois) pour n>0 ; a^0 = 1 ; a^(-n) = 1/a^n.
Produit de puissances
a^m × a^n = a^(m+n).
Quotient de puissances
a^m / a^n = a^(m-n) (a ≠ 0).
Puissance de puissance
(a^m)^n = a^(m×n).
Racine carrée
√a est le nombre positif tel que (√a)^2 = a (a ≥ 0).
Ordre de grandeur
Puissance de 10 la plus proche d'un nombre.
Méthode flash
- 1Pour simplifier une expression avec puissances : applique les règles de calcul en regroupant les mêmes bases.
- 2Pour comparer des nombres : mets-les sous forme scientifique ou calcule leur ordre de grandeur.
- 3Pour simplifier une fraction : décompose numérateur et dénominateur en facteurs premiers, puis simplifie.
- 4Pour calculer avec des racines : utilise √(a×b) = √a × √b et √(a/b) = √a / √b (a,b ≥ 0).
Exemple corrigé
Énoncé
Simplifie (2^3 × 2^5) / 2^4.
Résolution
2^3 × 2^5 = 2^(3+5) = 2^8. Puis 2^8 / 2^4 = 2^(8-4) = 2^4 = 16.
Pièges à éviter
❌ Faux : a^m × a^n = a^(m×n)
✅ Correct : a^m × a^n = a^(m+n).
❌ Faux : (a^m)^n = a^(m+n)
✅ Correct : (a^m)^n = a^(m×n).
❌ Faux : √(a+b) = √a + √b
✅ Correct : √(a+b) ne se simplifie pas. √(a×b) = √a × √b.
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