Calculer avec des puissances entières

Ce qu'il faut comprendre

Les puissances entières sont un outil super pratique pour écrire des multiplications répétées de façon plus courte. Par exemple, au lieu d'écrire 2 × 2 × 2 × 2 × 2, tu peux écrire 2^5. Ça t'aide aussi à manipuler de très grands nombres (comme la distance Terre-Soleil) ou de très petits nombres (comme la taille d'un atome) avec des ordres de grandeur. En seconde, tu vas apprendre à calculer avec des puissances, à les utiliser dans des fractions et des racines carrées, et à donner un ordre de grandeur d'un résultat.

Les notions essentielles

Définition d'une puissance entière

Pour un nombre réel a et un entier naturel n (n ≥ 1) :

a^n = a × a × ... × a (n facteurs)
a^0 = 1 (si a ≠ 0)
a^{-n} = 1 / a^n (si a ≠ 0)

Exemples :

3^4 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
5^0 = 1
2^{-3} = 1 / 2^3 = 1/8

Propriétés des puissances

Pour tous nombres a et b non nuls, et tous entiers m et n :

a^m × a^n = a^{m+n}
a^m / a^n = a^{m-n}
(a^m)^n = a^{m×n}
(a × b)^n = a^n × b^n
(a / b)^n = a^n / b^n

Fractions et puissances

Une fraction peut avoir des puissances au numérateur ou au dénominateur. On peut simplifier en utilisant les propriétés.

Racines carrées

La racine carrée d'un nombre positif a, notée √a, est le nombre positif dont le carré vaut a : (√a)^2 = a. Propriétés :

√(a × b) = √a × √b (pour a ≥ 0, b ≥ 0)
√(a / b) = √a / √b (pour a ≥ 0, b > 0)
√(a^2) = a (pour a ≥ 0)

Unités et ordre de grandeur

Les puissances de 10 sont très utilisées pour exprimer des ordres de grandeur :

10^3 = 1000 (kilo)
10^{-3} = 0,001 (milli)
10^6 = 1 000 000 (méga)
10^{-6} = 0,000 001 (micro)

L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 la plus proche. Par exemple, 2500 a pour ordre de grandeur 10^3 (car 2500 est plus proche de 1000 que de 10000).

Méthode

Pour calculer avec des puissances

Identifier la base et l'exposant : repère a et n.
Appliquer les propriétés dans le bon ordre : d'abord les parenthèses, puis les multiplications/divisions de puissances de même base, puis les puissances de puissances.
Simplifier : écrire le résultat sous forme d'une seule puissance si possible, ou sous forme décimale.

Pour utiliser les racines carrées

Simplifier en décomposant le nombre sous la racine en produit de carrés parfaits.
Appliquer les propriétés : √(a×b) = √a × √b.
Réduire : si possible, écrire sous la forme k√d.

Pour donner un ordre de grandeur

Écrire le nombre en notation scientifique : a × 10^n avec 1 ≤ a < 10.
Arrondir a à 1 ou 10 selon sa valeur : si a < 3,16 (√10), l'ordre de grandeur est 10^n ; sinon, c'est 10^{n+1}.

Exemple corrigé

Énoncé : Calcule et donne le résultat sous forme d'une puissance : A = (2^3 × 2^{-5}) / 2^2

Correction :

On applique la propriété du produit au numérateur : 2^3 × 2^{-5} = 2^{3 + (-5)} = 2^{-2}.
On a donc A = 2^{-2} / 2^2 = 2^{-2 - 2} = 2^{-4}.
On peut aussi écrire 1/2^4 = 1/16.

Énoncé : Simplifie √50.

Correction :

On décompose 50 = 25 × 2.
√50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2.

Énoncé : Donne l'ordre de grandeur de 0,000 72.

Correction :

Notation scientifique : 7,2 × 10^{-4}.
7,2 ≥ 3,16, donc l'ordre de grandeur est 10^{-4+1} = 10^{-3}.

Erreurs fréquentes

Confondre a^m × a^n avec a^{m×n} : attention, c'est a^{m+n}, pas a^{m×n}.
Oublier que a^0 = 1 : même 0^0 n'est pas défini (mais en seconde on évite).
Mal appliquer la puissance d'une somme : (a+b)^n n'est pas égal à a^n + b^n (sauf cas particuliers).
Racine carrée d'une somme : √(a+b) n'est pas égal à √a + √b.
Ordre de grandeur : ne pas confondre avec la notation scientifique. L'ordre de grandeur est une approximation.

À retenir

a^n × a^p = a^{n+p}
a^n / a^p = a^{n-p}
(a^n)^p = a^{n×p}
(ab)^n = a^n b^n
√(ab) = √a √b (a,b ≥ 0)
√(a/b) = √a / √b (a≥0, b>0)
L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 la plus proche.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris le cours, n'hésite pas à t'entraîner avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu peux aussi consulter les fiches de révision pour bien mémoriser les propriétés. Bon courage !