Comparer deux nombres par différence ou quotient

Ce qu'il faut comprendre

En Seconde, tu vas souvent devoir comparer deux nombres. Par exemple, savoir si un prix a augmenté ou diminué, ou si une quantité est plus grande qu'une autre. Deux méthodes principales existent : la différence et le quotient. La différence te dit de combien un nombre est plus grand ou plus petit qu'un autre. Le quotient te dit combien de fois un nombre est plus grand qu'un autre. Ces outils sont très utiles pour les fractions, les puissances et les racines carrées.

Les notions essentielles

Comparer par différence

Pour deux nombres réels (a) et (b) :

• Si (a - b > 0), alors (a > b).
• Si (a - b < 0), alors (a < b).
• Si (a - b = 0), alors (a = b).

Comparer par quotient

Pour deux nombres réels (a) et (b) strictement positifs :

• Si (\frac{a}{b} > 1), alors (a > b).
• Si (\frac{a}{b} < 1), alors (a < b).
• Si (\frac{a}{b} = 1), alors (a = b).

Attention : Cette méthode ne fonctionne que si (b > 0). Si (b < 0), le sens de l'inégalité s'inverse (mais en Seconde, on utilise surtout des nombres positifs).

Fractions

Une fraction s'écrit (\frac{a}{b}) avec (b \neq 0). Pour comparer deux fractions, tu peux :

• Les mettre au même dénominateur.
• Utiliser la différence ou le quotient.

Puissances

Une puissance est de la forme (a^n) où (n) est un entier relatif. Par exemple, (2^3 = 8), (10^{-2} = 0,01). Pour comparer des puissances, regarde la base et l'exposant.

Racines carrées

La racine carrée d'un nombre positif (a) est le nombre positif (\sqrt{a}) tel que ((\sqrt{a})^2 = a). Par exemple, (\sqrt{9} = 3).

Unités et ordre de grandeur

Les unités (mètre, gramme, etc.) sont importantes pour comparer des grandeurs. L'ordre de grandeur est une puissance de 10 proche du nombre. Par exemple, 1234 a pour ordre de grandeur (10^3).

Méthode

Pour comparer deux nombres (a) et (b) :

1. Choisis la méthode :

   • Si tu veux savoir de combien l'un est plus grand, utilise la différence.
   • Si tu veux savoir combien de fois l'un est plus grand, utilise le quotient (si les deux sont positifs).

2. Calcule la différence ou le quotient :

   • Différence : (a - b).
   • Quotient : (\frac{a}{b}) (avec (b \neq 0)).

3. Compare à 0 ou à 1 :

   • Pour la différence, regarde le signe.
   • Pour le quotient, regarde s'il est supérieur, inférieur ou égal à 1.

4. Conclus :

   • Si différence > 0 ou quotient > 1, alors (a > b).
   • Si différence < 0 ou quotient < 1, alors (a < b).
   • Si différence = 0 ou quotient = 1, alors (a = b).

Astuce : Pour les fractions, mets-les au même dénominateur avant de comparer. Pour les puissances, écris-les avec la même base si possible. Pour les racines, élève au carré (si les nombres sont positifs).

Exemple corrigé

Énoncé : Compare (\frac{3}{4}) et (\frac{5}{7}) par différence et par quotient.

Correction :

1. Par différence :

   • Calcule (\frac{3}{4} - \frac{5}{7}).
   • Mets au même dénominateur : (\frac{3 \times 7}{4 \times 7} - \frac{5 \times 4}{7 \times 4} = \frac{21}{28} - \frac{20}{28} = \frac{1}{28}).
   • (\frac{1}{28} > 0), donc (\frac{3}{4} > \frac{5}{7}).

2. Par quotient :

   • Calcule (\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{7}} = \frac{3}{4} \times \frac{7}{5} = \frac{21}{20} = 1,05).
   • (1,05 > 1), donc (\frac{3}{4} > \frac{5}{7}).

Les deux méthodes donnent le même résultat.

Erreurs fréquentes

• Oublier le signe : Quand tu compares par différence, ne regarde pas seulement le résultat, mais son signe. Par exemple, (3 - 5 = -2) (négatif), donc (3 < 5).
• Utiliser le quotient avec des nombres négatifs : La règle du quotient ne marche que si les deux nombres sont positifs. Sinon, utilise la différence.
• Confondre différence et quotient : La différence donne un écart absolu, le quotient donne un rapport. Ne les mélange pas.
• Mal réduire les fractions : Quand tu compares des fractions, assure-toi de les mettre au même dénominateur correctement.
• Oublier les unités : Si tu compares des grandeurs, vérifie qu'elles sont dans la même unité. Par exemple, 1 mètre et 100 centimètres sont égaux.

À retenir

• Différence : (a - b > 0 \iff a > b).
• Quotient (pour (a, b > 0)) : (\frac{a}{b} > 1 \iff a > b).
• Pour comparer des fractions, mets-les au même dénominateur ou utilise le quotient.
• Pour comparer des puissances, écris-les avec la même base si possible.
• Pour comparer des racines carrées, élève au carré (les deux nombres doivent être positifs).
• L'ordre de grandeur t'aide à comparer rapidement des nombres très grands ou très petits.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris le cours, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu trouveras des fiches pour t'aider à maîtriser la comparaison par différence et quotient, les fractions, les puissances et les racines carrées. Bon courage !