Fiche de révision : Comparer deux fonctions graphiquement
En bref
Pour comparer deux fonctions graphiquement, on lit sur leurs courbes respectives les images d'un même nombre x. La fonction dont la courbe est au-dessus donne la plus grande valeur. On peut aussi résoudre f(x) = g(x) pour trouver les points d'intersection.
Points clés
- Comparer f(x) et g(x) pour un x donné : lire les ordonnées des points d'abscisse x sur les courbes.
- Sur un intervalle, si la courbe de f est au-dessus de celle de g, alors f(x) > g(x).
- Les points d'intersection des courbes vérifient f(x) = g(x).
- Les variations d'une fonction affine sont données par le signe du coefficient directeur.
- La fonction carré est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.
- La fonction inverse est décroissante sur ]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.
Définitions & formules
Comparer deux fonctions graphiquement
Déterminer, pour un x donné ou sur un intervalle, quelle fonction est la plus grande en observant les positions relatives de leurs courbes.
Fonction affine
f(x) = ax + b, où a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine.
Coefficient directeur
Nombre a dans f(x)=ax+b ; il indique la pente de la droite.
Ordonnée à l'origine
Nombre b dans f(x)=ax+b ; c'est l'ordonnée du point d'intersection avec l'axe des ordonnées.
Fonction carré
f(x) = x^2. Sa courbe est une parabole.
Fonction inverse
f(x) = 1/x. Sa courbe est une hyperbole.
Méthode flash
- 1Pour comparer f(x) et g(x) en un x précis : place-toi à cette abscisse sur l'axe horizontal, monte verticalement jusqu'à chaque courbe, lis l'ordonnée. La plus grande ordonnée correspond à la plus grande valeur.
- 2Pour comparer sur un intervalle : regarde quelle courbe est au-dessus de l'autre sur tout l'intervalle. Si f est au-dessus, alors f(x) > g(x) pour tout x de l'intervalle.
- 3Pour trouver où f(x) = g(x) : repère les points d'intersection des deux courbes. Leurs abscisses sont les solutions de l'équation f(x) = g(x).
Exemple corrigé
Énoncé
Soient f(x)=x^2 et g(x)=x+2. Compare f(x) et g(x) graphiquement pour x=1.
Résolution
Pour x=1, f(1)=1^2=1, g(1)=1+2=3. Donc g(1) > f(1). Graphiquement, le point (1;3) de g est au-dessus du point (1;1) de f.
Pièges à éviter
❌ Faux : Croire que si une courbe monte, la fonction est toujours croissante.
✅ Correct : Une fonction peut être croissante sur un intervalle et décroissante sur un autre. Il faut regarder le sens de variation sur l'intervalle considéré.
❌ Faux : Confondre l'ordonnée à l'origine avec le coefficient directeur.
✅ Correct : L'ordonnée à l'origine b est l'ordonnée quand x=0 ; le coefficient directeur a est la pente.
❌ Faux : Penser que la fonction carré est toujours croissante.
✅ Correct : Elle est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.
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