Comparer deux fonctions graphiquement

Ce qu'il faut comprendre

Quand tu étudies deux fonctions, par exemple une fonction affine et la fonction carré, tu peux vouloir savoir pour quelles valeurs de x l'une est au-dessus de l'autre, ou quand elles sont égales. Graphiquement, cela revient à comparer les positions de leurs courbes représentatives. C'est très utile pour résoudre des inéquations ou des problèmes de la vie courante (par exemple, quel tarif est le plus avantageux selon le nombre d'heures).

Les notions essentielles

Comparer deux fonctions graphiquement : on trace les courbes des deux fonctions dans un même repère. Pour une valeur de x donnée, la fonction dont la courbe est la plus haute (ordonnée la plus grande) est la plus grande.
Variations : une fonction peut être croissante (quand x augmente, f(x) augmente) ou décroissante (quand x augmente, f(x) diminue).
Fonction affine : s'écrit f(x) = ax + b. Sa courbe est une droite.
- Coefficient directeur a : il indique la pente de la droite. Si a > 0, la droite monte ; si a < 0, elle descend.
- Ordonnée à l'origine b : c'est la valeur de f(0), donc le point où la droite coupe l'axe des ordonnées.
Fonction carré : f(x) = x^2. Sa courbe est une parabole, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.
Fonction inverse : f(x) = 1/x. Sa courbe est une hyperbole, définie pour x ≠ 0. Elle est décroissante sur ]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.

Méthode

Pour comparer deux fonctions f et g graphiquement :

Tracer les courbes représentatives de f et g dans un même repère.
Repérer les points d'intersection : ce sont les points où f(x) = g(x). Leurs abscisses sont les solutions de l'équation f(x) = g(x).
Observer les positions relatives : sur un intervalle, si la courbe de f est au-dessus de celle de g, alors f(x) > g(x). Si elle est en dessous, alors f(x) < g(x).
Lire les solutions : pour une inéquation du type f(x) > g(x), les solutions sont les abscisses des points où la courbe de f est au-dessus de celle de g.

Exemple corrigé

Énoncé : On considère les fonctions f(x) = 2x - 1 (affine) et g(x) = x^2 (carré). Résoudre graphiquement l'inéquation f(x) ≥ g(x).

Correction :

Tracé : dans un repère, trace la droite d'équation y = 2x - 1 (coefficient directeur 2, ordonnée à l'origine -1) et la parabole y = x^2.
Points d'intersection : ils sont obtenus en résolvant 2x - 1 = x^2, soit x^2 - 2x + 1 = 0, donc (x-1)^2 = 0, donc x = 1. Il y a un seul point d'intersection : (1 ; 1).
Position relative : pour x < 1, prends x = 0 : f(0) = -1, g(0) = 0, donc f(0) < g(0) : la parabole est au-dessus. Pour x > 1, prends x = 2 : f(2) = 3, g(2) = 4, donc f(2) < g(2) : la parabole est encore au-dessus. Mais vérifie : pour x = 1, elles sont égales. En fait, la droite est toujours en dessous de la parabole sauf au point de tangence ? Non, vérifie : pour x = 0,5 : f(0,5)=0, g(0,5)=0,25, donc f < g. Pour x = 1,5 : f(1,5)=2, g(1,5)=2,25, f < g. Donc f(x) ≤ g(x) pour tout x, et l'égalité seulement en x=1. Donc l'inéquation f(x) ≥ g(x) n'a qu'une solution : x = 1.
Conclusion : L'ensemble des solutions est {1}.

(Note : dans cet exemple, la droite est toujours en dessous de la parabole sauf au point de tangence. C'est un cas particulier.)

Erreurs fréquentes

Confondre les axes : bien lire les abscisses et ordonnées. Quand on compare f(x) et g(x), on regarde les ordonnées.
Oublier les points d'intersection : ils sont essentiels pour délimiter les intervalles.
Mal interpréter la position : si la courbe de f est au-dessus, alors f(x) > g(x). Attention au sens de l'inégalité.
Négliger le domaine de définition : pour la fonction inverse, x ne peut pas être 0. Il faut exclure les valeurs interdites.
Confondre coefficient directeur et ordonnée à l'origine : le coefficient directeur donne la pente, pas la hauteur à l'origine.

À retenir

Pour comparer deux fonctions graphiquement, trace leurs courbes et regarde laquelle est au-dessus.
Les points d'intersection donnent les égalités.
Les variations des fonctions de référence (affine, carré, inverse) aident à comprendre le comportement.
La fonction affine est une droite, la fonction carré une parabole, la fonction inverse une hyperbole.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris la méthode, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu peux aussi consulter les fiches de révision pour revoir les fonctions de référence.