Fiche de révision : Événement contraire et probabilité
En bref
La probabilité de l'événement contraire se calcule par 1 moins la probabilité de l'événement. Sur un arbre, la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1. En situation d'équiprobabilité, chaque issue a la même probabilité.
Points clés
- L'univers Ω est l'ensemble de toutes les issues possibles.
- Un événement A est un sous-ensemble de Ω.
- L'événement contraire de A, noté A̅, contient toutes les issues de Ω qui ne sont pas dans A.
- Propriété fondamentale : P(A̅) = 1 – P(A).
- Dans un arbre, la somme des probabilités des branches partant d'un même nœud est toujours 1.
- L'équiprobabilité signifie que toutes les issues ont la même probabilité.
- Pour un univers à n issues équiprobables, P(A) = nombre d'issues favorables / n.
Définitions & formules
Univers
Ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire, noté Ω.
Issue
Résultat possible d'une expérience aléatoire.
Événement
Sous-ensemble de l'univers Ω.
Événement contraire
Événement noté A̅ qui contient toutes les issues de Ω n'appartenant pas à A.
Probabilité de l'événement contraire
P(A̅) = 1 – P(A).
Équiprobabilité
Situation où toutes les issues ont la même probabilité.
Arbre de probabilités
Diagramme où chaque branche porte une probabilité ; la somme des probabilités issues d'un même nœud vaut 1.
Méthode flash
- 1Identifier l'univers Ω et compter le nombre total d'issues.
- 2Si équiprobable, calculer P(A) = (nombre d'issues favorables) / (nombre total d'issues).
- 3Pour obtenir P(A̅), appliquer P(A̅) = 1 – P(A).
- 4Sur un arbre, vérifier que les probabilités des branches d'un même nœud additionnent à 1.
Exemple corrigé
Énoncé
On lance un dé équilibré à 6 faces. Soit A : « obtenir un nombre pair ». Calcule P(A) et P(A̅).
Résolution
Ω = {1,2,3,4,5,6} (6 issues équiprobables). A = {2,4,6} (3 issues). P(A) = 3/6 = 0,5. P(A̅) = 1 – 0,5 = 0,5.
Pièges à éviter
❌ Faux : P(A̅) = 1 – P(A) ne fonctionne que si les issues sont équiprobables.
✅ Correct : La formule P(A̅) = 1 – P(A) est toujours vraie, même sans équiprobabilité.
❌ Faux : Sur un arbre, la somme des probabilités de toutes les branches de l'arbre vaut 1.
✅ Correct : C'est la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud qui vaut 1, pas la somme totale de toutes les branches.
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