Modéliser le hasard

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne connaît pas l’issue à l’avance, même si l’on peut préciser les résultats possibles. L’univers, noté Ω, réunit ces issues. Un événement est une partie de cet univers. Pour un dé, obtenir un nombre pair est un événement composé de plusieurs issues. Décrire l’expérience avec précision évite les ambiguïtés : lancer un dé, noter sa face supérieure, ou noter seulement sa parité ne donne pas le même univers.

Un modèle probabiliste associe une probabilité à chaque issue. Dans un univers fini, ces nombres sont positifs ou nuls et leur somme vaut un. La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le composent. Le modèle traduit des hypothèses sur la situation ; il ne se confond pas avec l’objet réel. Un dé déclaré équilibré justifie le choix de six probabilités égales dans le modèle, pas une preuve expérimentale absolue sur un objet matériel.

L’équiprobabilité signifie que toutes les issues du modèle ont la même probabilité. Dans un univers fini de N issues équiprobables, chacune a pour probabilité 1/N. On peut alors calculer la probabilité d’un événement en divisant son nombre d’issues par N. Sans cette hypothèse, compter les issues favorables ne suffit pas : il faut additionner leurs probabilités respectives.

Une probabilité de zéro correspond à un événement impossible dans le modèle fini si toutes les issues retenues ont une probabilité strictement positive. Une probabilité de un correspond à un événement certain dans ce cadre. Il faut cependant rester attentif au choix du modèle et de l’univers. Un résultat matériel inattendu, comme un objet qui se bloque, peut révéler que la description initiale de l’expérience était incomplète.

L’intersection A ∩ B est l’événement où A et B sont réalisés ensemble. L’union A ∪ B est l’événement où A ou B est réalisé, éventuellement les deux. L’événement contraire de A réunit les issues où A n’est pas réalisé. Sa probabilité vaut 1 − P(A). Deux événements incompatibles n’ont aucune issue commune. Pour eux, la probabilité de leur union est la somme de leurs probabilités.

Dans le cas général, additionner P(A) et P(B) compte deux fois les issues communes. Il faut donc retrancher une fois la probabilité de l’intersection : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Un inventaire des issues est souvent plus clair qu’une formule utilisée sans comprendre. Les mots français et, ou et non donnent directement les opérations sur les ensembles.

La fréquence d’un événement au cours de n répétitions est le nombre de ses réalisations divisé par n. Elle dépend des résultats observés. La probabilité appartient au modèle et ne change pas à chaque répétition. Pour une pièce modélisée comme équilibrée, la probabilité de pile reste 1/2 même si les dix premiers lancers donnent sept piles. Une fréquence de 0,7 dans ce petit échantillon n’est donc pas une contradiction logique du modèle.

Une version intuitive de la loi des grands nombres indique que, lorsque l’on répète l’expérience dans les mêmes conditions et de façon indépendante, la fréquence tend à se stabiliser près de la probabilité quand le nombre de répétitions devient grand. Cela ne promet ni une égalité exacte, ni un rapprochement à chaque nouveau lancer. Des fluctuations subsistent. Augmenter la taille de l’échantillon améliore généralement l’observation, sans garantir un résultat précis pour un échantillon particulier.

Pour un phénomène dont on ne connaît pas une symétrie pertinente, on peut proposer un modèle à partir de fréquences observées sur un grand nombre d’essais. Ce choix reste une estimation empirique et dépend de la stabilité du protocole. Une punaise n’a pas deux issues nécessairement équiprobables simplement parce qu’on distingue pointe vers le haut et pointe sur le côté. Le nombre de catégories ne justifie jamais à lui seul des probabilités égales.

Avec Python, la fonction randrange(2) du module random produit un entier 0 ou 1 dans un modèle uniforme. Une boucle répète ce tirage, additionne les 1 puis divise le compteur par le nombre d’essais. On peut enregistrer les fréquences à différentes tailles d’échantillon. Fixer une graine permet de reproduire une série pour vérifier un programme ; cela ne crée pas une preuve sur une pièce réelle. Pour tester le programme, on vérifie notamment que le compteur reste entre zéro et le nombre d’essais.