Calculer une probabilité conditionnelle

Une probabilité conditionnelle répond à une question du type : quelle est la probabilité de B sachant que A est réalisé ? On se place désormais parmi les issues où A a eu lieu. On note cette probabilité P_A(B), ou P(B sachant A). Si P(A) est strictement positive, on la calcule par P_A(B) = P(A ∩ B)/P(A). Le numérateur correspond à la réalisation simultanée de A et de B ; le dénominateur correspond à la condition A.

Le lien avec les tableaux croisés est direct. Si l’on tire uniformément une personne parmi cent, dont quarante appartiennent à A et trente appartiennent à la fois à A et B, alors P(A) = 40/100 et P(A ∩ B) = 30/100. Le quotient des deux vaut 30/40 = 0,75. On a changé de référence : les quarante personnes de A remplacent les cent personnes du départ.

La condition doit avoir une probabilité positive pour que ce quotient soit défini. On ne divise pas par zéro. Les notations doivent être lues dans l’ordre : dans P_A(B), A est la condition et B ce que l’on cherche. Dans P_B(A), les rôles sont inversés. Les probabilités obtenues ne sont pas généralement égales, même si leur numérateur P(A ∩ B) est commun.

Une probabilité conditionnelle peut être exprimée en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage. La phrase de conclusion est un contrôle utile : parmi A, 75 % prennent le bus ; parmi les personnes en bus, 60 % appartiennent à A. Dans les deux cas, la restriction est explicite. Une probabilité globale comme P(A ∩ B) = 30 % porte au contraire sur toute la population.

Un arbre pondéré représente les étapes d’un raisonnement probabiliste. Les probabilités au premier niveau concernent les événements de départ. Les branches issues d’un même nœud représentent des possibilités conditionnelles qui couvrent ce qui peut arriver à partir de ce nœud ; leurs probabilités totalisent un. Les probabilités d’une branche du second niveau se lisent donc avec la condition indiquée par le chemin qui y conduit.

Un chemin complet représente une intersection. Pour calculer sa probabilité, on multiplie les probabilités de ses branches. Cette règle découle de la définition du conditionnement : P(A ∩ B) = P(A)P_A(B). Les branches issues d’un même nœud se complètent à 1. Dans cette leçon, les probabilités globales B et non B sont obtenues à partir du tableau de population. Calculer une probabilité globale à partir des conditionnelles relatives à une partition n’est pas un attendu du programme de seconde ; cette démarche relève d’un approfondissement facultatif.

Le tableau de la population initiale donne directement les marges : 50 personnes prennent le bus sur 100, donc P(B) = 0,50. Les 50 autres donnent P(non B) = 0,50. Ces deux références sont ainsi connues avant le changement de condition ; aucune formule relative à une partition n’est nécessaire pour les retrouver.

Pour inverser une condition, on cherche d’abord l’intersection puis le total correspondant à la nouvelle référence. Dans l’exemple, on connaissait facilement la part de bus dans chaque groupe. Pour connaître la part de A parmi les personnes en bus, on calcule P(A ∩ B), puis P(B), puis on divise. L’arbre initial donne la probabilité de l’intersection et le tableau donne celle de la nouvelle référence. Le résultat demandé se lit dans l’autre sens.

La condition n’est pas nécessairement une cause et le sens d’un arbre n’est pas obligatoirement chronologique. On peut d’abord classer les individus par un résultat observé, puis regarder leur groupe. Inverser l’ordre de classement sert à répondre à une autre question sur la même population. Une différence entre conditionnements n’a donc rien de paradoxal : leurs populations de référence diffèrent.

Un contrôle numérique peut remplacer les probabilités par des effectifs sur une population fictive adaptée. Avec les probabilités de notre arbre, une population de cent donne les effectifs 30, 10, 20 et 40. On retrouve alors tous les quotients sans abstraction supplémentaire. Pour simuler, on tire d’abord un groupe selon son poids, puis un résultat avec la probabilité propre à ce groupe. Utiliser la même probabilité au second tirage pour tous les groupes produirait un autre modèle.