Croiser deux caractères

Un tableau croisé décrit simultanément deux caractères observés sur les mêmes individus. Une unité statistique peut être une personne, un objet ou une ville ; il faut garder la même unité dans toute la table. Dans l’exemple fictif de cette leçon, cent personnes appartiennent à un groupe A ou B et choisissent comme mode de déplacement principal le bus ou la marche. Chaque individu reçoit une seule catégorie pour chaque caractère.

Un caractère qualitatif classe les individus en catégories. Le mode de déplacement est nominal : les catégories n’ont pas d’ordre naturel. Un degré de satisfaction peut être ordinal : faible, moyen, élevé suivent un ordre. Le tableau croisé conserve les associations entre les deux caractères. Deux listes de totaux séparés ne permettraient pas de savoir combien d’individus cumulent les deux propriétés.

Avant de remplir la table, vérifie que les catégories sont exclusives et couvrent la population étudiée. Si une personne utilise plusieurs modes, il faut définir un critère comme le mode principal ; autrement, le total des cases peut dépasser la population. Si une catégorie autre ou une non-réponse existe, elle doit être indiquée ou traitée explicitement. Faire disparaître ces observations changerait les références des pourcentages.

Une case intérieure donne un effectif conjoint : à l’intersection de la ligne A et de la colonne bus, on lit 30 personnes. La marge de la ligne A est 40 ; elle réunit les 30 personnes en bus et les 10 à pied. La marge de la colonne bus est 50 ; elle réunit les 30 du groupe A et les 20 du groupe B. Le total général 100 se retrouve en additionnant les marges de lignes ou celles de colonnes.

Une case manquante se retrouve souvent par soustraction dans sa ligne ou sa colonne. Les marges servent aussi de contrôle : tous les effectifs sont positifs ou nuls et aucune case ne peut dépasser le total de sa ligne ou de sa colonne. Avec des données exactes, deux calculs d’un même total doivent coïncider. Un écart peut provenir d’une faute de saisie, d’un doublon ou de catégories mal définies.

La fréquence globale d’une case est son effectif divisé par le total général. Dans notre tableau, la fréquence des individus du groupe A qui prennent le bus est 30/100 = 0,30, soit 30 %. La fréquence marginale d’une catégorie est le total de sa marge divisé par le total général. La fréquence marginale de A est donc 40/100 = 40 %, et celle du bus est 50/100 = 50 %.

Les fréquences globales des cases intérieures totalisent un. Leurs sommes par ligne ou par colonne donnent les fréquences marginales. Cette cohérence se vérifie uniquement si le même dénominateur est utilisé dans toutes les cases. Si chaque ligne est calculée sur son propre total, on obtient une autre table, celle des fréquences conditionnelles par ligne ; additionner directement ces lignes ne donne pas une fréquence globale.

La formulation en français indique la bonne lecture. Parmi toutes les personnes, la part de celles qui sont dans A et prennent le bus correspond à une intersection rapportée au total. La part du groupe A, sans précision sur le transport, correspond à une marge. Les mots et et parmi jouent donc un rôle mathématique : ils guident le choix du numérateur et du dénominateur.

Une fréquence conditionnelle se calcule dans une sous-population. Parmi les personnes du groupe A, la fréquence du bus est 30/40 = 75 %. Parmi les personnes qui prennent le bus, la fréquence du groupe A est 30/50 = 60 %. Le numérateur est le même effectif conjoint, mais le dénominateur change. L’ordre des catégories a donc une importance : inverser la condition ne conserve pas généralement le résultat.

Comparer des pourcentages conditionnels demande de vérifier la taille et la définition des groupes. Une différence entre deux groupes observés ne prouve pas que l’appartenance au groupe cause le choix du bus. La distance, l’offre de transport ou d’autres variables peuvent intervenir. Le tableau décrit une association dans la population étudiée ; il ne suffit pas à expliquer pourquoi elle existe. Dans une enquête réelle, on préciserait aussi le mode de collecte et les non-réponses.

Cet exemple montre que la composition de la population joue sur les fréquences globales. On peut les retrouver par un raisonnement sur les effectifs ou par une moyenne pondérée des fréquences conditionnelles, avec les proportions des groupes comme poids. Il est souvent plus sûr de reconstruire d’abord une table d’effectifs. On y voit immédiatement quelle population sert de référence à chaque pourcentage.

Pour traiter un fichier en Python, on peut stocker chaque individu avec son groupe et son mode. Une boucle ajoute un au compteur de la case correspondante. Un filtre groupe == 'A' et mode == 'bus' sélectionne l’intersection ; un filtre utilisant ou réunit les deux catégories sans compter deux fois une même personne. Les opérateurs logiques doivent suivre la consigne. Avant un travail réel, on contrôle les lignes incomplètes et l’unicité des identifiants sans publier de données personnelles.