Comparer des séries et des classes

Comparer des séries statistiques ne consiste pas à regarder seulement leur moyenne. Deux groupes peuvent avoir le même centre et des répartitions très différentes. Il faut préciser la population, le caractère numérique étudié, son unité et l’effectif total. Une note, une durée et une longueur ne se comparent pas sans contexte. Les données de cette leçon sont fictives et servent à comprendre les méthodes ; elles ne décrivent pas une enquête réelle.

La moyenne est la somme des valeurs divisée par l’effectif. Si la valeur x apparaît n fois, sa contribution à la somme est nx. La médiane se cherche dans la série ordonnée : pour un effectif impair, on prend la valeur centrale ; pour un effectif pair, on peut prendre la moyenne des deux valeurs centrales. Une médiane partage la série de sorte qu’au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales et au moins la moitié supérieures ou égales.

Les quartiles donnent d’autres repères de position. Avec la convention des rangs utilisée ici, Q1 est la valeur de rang plafond(N/4) et Q3 celle de rang plafond(3N/4), dans la série ordonnée. Plafond signifie le plus petit entier supérieur ou égal au nombre. Ces valeurs assurent qu’au moins 25 % et 75 % des observations sont inférieures ou égales aux seuils correspondants. Elles ne sont pas, en général, les médianes de deux moitiés de série.

L’écart type se calcule à partir des écarts à la moyenne. Pour N valeurs x1 à xN de moyenne m, la variance est la somme des (xi − m)² divisée par N. L’écart type est sa racine carrée. Pour des effectifs, on pondère chaque carré par l’effectif correspondant. Il s’exprime dans la même unité que les données. Il ne faut pas le présenter comme la moyenne des écarts absolus : les opérations et le résultat sont différents.

Le couple moyenne–écart type décrit le centre et la dispersion autour de ce centre. Le couple médiane–écart interquartile décrit davantage la partie centrale et dépend moins directement de la taille d’une valeur extrême. Il faut éviter de déclarer un groupe meilleur sans critère : une dispersion faible peut être souhaitée pour une fabrication régulière, mais ne résume pas tous les objectifs d’une comparaison.

Une variable continue peut prendre de nombreuses valeurs ; on regroupe alors les observations dans des intervalles appelés classes. Les classes doivent couvrir la population étudiée sans compter deux fois une même observation. Par exemple, [10 ; 20[ contient 10 mais pas 20. Une durée exactement égale à 20 appartient à [20 ; 30[. L’amplitude est la largeur de la classe, ici dix minutes.

Dans un histogramme, chaque rectangle occupe l’intervalle de sa classe sur l’axe horizontal. Son aire représente l’effectif ou la fréquence. Quand toutes les classes ont la même amplitude, on peut choisir des hauteurs proportionnelles aux effectifs. Les rectangles sont contigus, contrairement aux barres séparées utilisées pour des catégories. Les valeurs précises à l’intérieur des classes restent inconnues : le regroupement fait perdre de l’information.

Si les moyennes réelles de chaque classe sont connues, leur moyenne pondérée par les effectifs donne exactement la moyenne globale. Remplacer une moyenne de classe inconnue par le centre suppose un modèle, par exemple une répartition uniforme dans chaque intervalle. Il faut annoncer ce choix. Une moyenne approximative issue d’un histogramme ne devient pas une mesure exacte sous prétexte qu’elle a plusieurs décimales.

Pour repérer une médiane avec des classes, on calcule les effectifs cumulés croissants. Ils additionnent les effectifs au fur et à mesure des intervalles. Pour la série de durées précédente, les cumuls sont 2, 8, 16 et 20. Le seuil de la moitié des observations est atteint dans [20 ; 30[. C’est la classe médiane. Les seules classes ne permettent pas de connaître la médiane exacte des données individuelles.

On peut estimer la médiane par interpolation si l’on suppose les observations uniformément réparties dans la classe médiane. On parcourt alors cette classe proportionnellement à l’effectif manquant pour atteindre la moitié du total. Le polygone des fréquences cumulées relie les fréquences aux bornes supérieures des classes. La lecture de 50 % fournit la même estimation sous ce modèle linéaire.

Ajouter la même constante à toutes les valeurs ajoute cette constante à la moyenne et à une médiane, sans changer l’écart type. Multiplier les valeurs par un nombre positif multiplie la moyenne, les médianes et l’écart type par ce nombre. Ajouter une seule observation agit autrement : la nouvelle moyenne utilise l’ancienne somme et le nouvel effectif ; la médiane dépend des nouveaux rangs. Un programme peut trier la liste, calculer les rangs et comparer les indicateurs avant et après cette modification.