Résoudre graphiquement et modéliser

Pour résoudre f(x) = k sur un domaine D, on cherche les abscisses des intersections de la courbe de f avec la droite horizontale y = k. Les ordonnées de ces points sont déjà connues : elles valent k. La réponse porte sur leurs abscisses. Il faut regarder toute la partie de courbe correspondant au domaine pour ne pas oublier une intersection. Un résultat lu entre deux graduations est approché, même si la valeur obtenue paraît simple.

Pour f(x) ≤ k, on conserve les abscisses des points situés sous la droite y = k ou sur elle. Avec f(x) < k, on exclut les intersections puisque l’égalité n’est pas autorisée. On projette donc des portions de courbe sur l’axe horizontal pour obtenir un ou plusieurs intervalles. On ne donne pas un intervalle d’ordonnées : l’inconnue reste la variable d’entrée. Les extrémités du domaine doivent être traitées en même temps que les intersections.

Un graphique ne montre qu’une fenêtre. Si la courbe continue hors du cadre et que le domaine est plus grand, on ne peut pas affirmer avoir toutes les solutions sur la seule partie visible. On adapte alors la fenêtre ou on utilise la formule pour étudier les zones absentes. À l’inverse, si le domaine demandé est [−2 ; 4], on ne conserve pas des solutions trouvées en dehors de cet intervalle, même si la formule y reste calculable.

Pour résoudre f(x) = g(x), on cherche les abscisses des points communs aux deux courbes. On compare bien deux images pour la même entrée. Pour f(x) < g(x), on garde les abscisses où la courbe de f se situe sous celle de g. Une courbe peut être au-dessus de l’axe horizontal tout en restant sous l’autre courbe : le signe de f ne suffit donc pas pour la comparaison. Le calcul exact consiste souvent à étudier le signe de la différence f(x) − g(x).

Lorsque des données mesurées sont fournies, une intersection graphique ne devient pas automatiquement exacte parce qu’elle paraît avoir une abscisse entière. On annonce la précision de lecture et on utilise la formule seulement si elle est donnée ou justifiée. Si un modèle affine est choisi à partir de deux mesures, sa comparaison décrit d’abord ce modèle. Elle n’établit pas que le phénomène réel suit exactement les mêmes droites pour toutes les valeurs.

Un problème d’optimisation cherche à rendre une quantité aussi grande ou aussi petite que possible parmi les situations autorisées. On commence par définir une variable avec son unité et son domaine. On exprime ensuite les autres grandeurs en fonction de cette variable, puis la quantité à optimiser. Une figure peut aider à identifier les relations. Les contraintes restent actives jusqu’à la réponse : un maximum calculé pour une valeur impossible ne résout pas le problème.

Considérons un rectangle de périmètre 20 m. Si sa largeur est x et sa longueur y, alors 2x + 2y = 20, donc y = 10 − x. Pour avoir un véritable rectangle, x > 0 et y > 0, ce qui impose 0 < x < 10. Son aire vaut A(x) = xy = x(10 − x), en mètres carrés. Les valeurs 0 et 10 servent parfois à comprendre une fermeture du domaine sur le dessin, mais elles correspondent à une figure aplatie et ne sont pas admises ici.

Un tableau de quelques aires peut suggérer que la meilleure largeur est proche de 5. Cela n’exclut pas une largeur intermédiaire plus efficace : un maillage ne visite qu’un nombre fini de possibilités. Pour établir un maximum exact, on cherche une écriture qui compare directement l’aire à une borne. Ici x(10 − x) = 25 − (x − 5)². Comme un carré est positif ou nul, aucune aire ne dépasse 25. Reste à vérifier que cette valeur est effectivement atteinte dans le domaine.

L’égalité A(x) = 25 − (x − 5)² fournit aussi une information de comparaison : plus la largeur s’éloigne de 5, plus le carré soustrait est grand et plus l’aire diminue. Deux largeurs situées à la même distance de 5 donnent la même aire. Cette symétrie explique la courbe. Elle vient du fait qu’échanger largeur et longueur ne change pas le rectangle. Le dessin soutient donc une interprétation géométrique que le calcul a établie exactement.

En Python, un balayage de l’aire peut partir d’une largeur positive, avancer d’un pas fixé et conserver la meilleure valeur rencontrée. Pour limiter les erreurs d’arrondi dans les entrées, on peut utiliser un compteur entier k puis poser x = k/100. On ne visite alors que des centièmes de mètre. Une valeur maximale observée sur ce maillage est un indice, pas une preuve universelle. Le raisonnement par le carré, lui, compare l’aire à 25 pour toutes les largeurs réelles admissibles.

On peut aussi modifier les contraintes après l’étude initiale. Si la largeur doit être au plus égale à 4 m, la valeur 5 n’est plus admissible. Il faut alors chercher la meilleure aire parmi les largeurs de ]0 ; 4], en utilisant la croissance de A jusqu’à 5 ou une comparaison des distances à 5. Le résultat optimal dépend donc du domaine autant que de la formule. Cette étape de relecture du contexte protège contre une réponse juste à un problème différent.