Calculer avec les vecteurs

Un point indique une position. Un vecteur décrit un déplacement : il précise comment passer d’une position à une autre. Le vecteur →AB a pour origine A et pour extrémité B. Pour un vecteur non nul, la direction est celle de la droite (AB), le sens va de A vers B, et la norme est la longueur AB. La direction ne suffit donc pas à décrire le déplacement : aller vers la droite ou vers la gauche donne deux sens différents sur une même direction.

Deux flèches placées à des endroits différents peuvent représenter le même vecteur. Il suffit qu’elles aient même direction, même sens et même longueur. Le vecteur ne mémorise pas son point de départ. On peut déplacer son représentant par translation sans modifier le vecteur. En revanche, tourner la flèche change généralement sa direction, et inverser sa pointe donne le vecteur opposé.

Le vecteur nul, noté 0⃗, correspond à un déplacement qui laisse le point à sa place. Ainsi →AA = 0⃗. Sa norme est nulle ; on ne lui attribue pas de direction ni de sens. L’opposé de →AB est →BA. Leur somme est nulle puisqu’un aller suivi du retour ramène au point initial. Les distances AB et BA sont égales, mais les vecteurs →AB et →BA sont opposés, et non égaux si A et B sont distincts.

Dans un repère à axes horizontal et vertical, les coordonnées d’un vecteur indiquent ses déplacements selon les deux axes, dans leurs unités respectives. Pour A(xA ; yA) et B(xB ; yB), on obtient →AB = (xB − xA ; yB − yA). L’ordre est toujours extrémité moins origine. Cette formule reste valable lorsque l’une des coordonnées est négative. On effectue deux soustractions indépendantes, sans mélanger abscisse et ordonnée.

Les deux vecteurs unités i⃗ et j⃗ suivent les axes du repère. Le déplacement de coordonnées (x ; y) se décompose en u⃗ = xi⃗ + yj⃗ : x unités selon le premier axe, puis y selon le second. Dans un repère orthonormé, i⃗ et j⃗ sont perpendiculaires et de norme 1.

L’égalité de deux vecteurs équivaut à l’égalité de leurs deux coordonnées dans le même repère. Cela permet de vérifier précisément ce qu’un dessin suggère. Un déplacement (3 ; −2) signifie trois unités dans le sens positif du premier axe et deux unités dans le sens négatif du second. Ces nombres ne sont pas les coordonnées du point d’arrivée, sauf si le point de départ est l’origine du repère.

La somme u⃗ + v⃗ représente le déplacement obtenu en effectuant d’abord u⃗ puis v⃗. Pour la construire, on place un représentant de v⃗ à l’extrémité d’un représentant de u⃗. La flèche somme relie le départ du premier à l’arrivée du second. Il faut transporter le second vecteur sans modifier sa direction, son sens ou sa longueur. On ne relie pas simplement les deux pointes de flèches dessinées au hasard.

Si les deux représentants partent du même point O, avec →OA = u⃗ et →OB = v⃗, on complète le parallélogramme OACB. Sa diagonale issue de O représente la somme : →OC = u⃗ + v⃗. En effet, →AC = →OB par translation, puis Chasles donne →OC = →OA + →AC. Si les vecteurs sont colinéaires, la construction est aplatie mais le calcul reste valable.

La relation de Chasles exprime cet enchaînement avec trois points quelconques : →AB + →BC = →AC. La lettre B joue deux rôles successifs, arrivée du premier déplacement puis départ du second. Cette relation reste vraie lorsque les points sont alignés. En coordonnées, si u⃗ = (x ; y) et v⃗ = (x′ ; y′), alors u⃗ + v⃗ = (x + x′ ; y + y′). La somme est commutative : on peut changer l’ordre des déplacements, même si les chemins intermédiaires diffèrent.

Soustraire v⃗ revient à ajouter son opposé : u⃗ − v⃗ = u⃗ + (−v⃗). Ainsi →AB − →AC = →AB + →CA = →CA + →AB = →CB. On a utilisé l’opposé, puis la commutativité, puis Chasles. Écrire les étapes évite une simplification purement visuelle des lettres, qui n’est pas une règle de calcul.

Pour un réel k et un vecteur u⃗ = (x ; y), le produit k u⃗ a pour coordonnées (kx ; ky). Pour u⃗ non nul, lorsque k est strictement positif, le sens est conservé ; lorsqu’il est strictement négatif, le sens est inversé. La norme est multipliée par la valeur absolue de k. Pour k = 0, le résultat est le vecteur nul. Multiplier par un réel ne consiste jamais à ajouter ce réel aux coordonnées.

Les règles distributives relient les deux opérations : k(u⃗ + v⃗) = k u⃗ + k v⃗ et (k + l)u⃗ = k u⃗ + l u⃗. Elles se vérifient en appliquant la distributivité sur chacune des coordonnées. Pour tout point A et tout vecteur donné, il existe un unique point M tel que →AM soit ce vecteur : ses coordonnées sont celles de A augmentées de celles du déplacement.

Un petit programme peut contrôler l’arithmétique. Pour des couples A et B, une fonction Python déplacement peut renvoyer (B[0] − A[0], B[1] − A[1]). Une fonction somme additionne ensuite les composantes correspondantes. Pour trois points choisis, on peut comparer la somme des deux déplacements au déplacement direct. Un test réussi sur quelques points illustre Chasles, mais sa preuve générale vient des simplifications (xB − xA) + (xC − xB) = xC − xA, et de la même égalité sur les ordonnées.