Prouver alignement et parallélisme

Un dessin peut suggérer que des points sont alignés ou que deux droites sont parallèles. Il ne constitue pas une preuve : le tracé peut être imprécis ou manquer de détails. Le calcul vectoriel transforme ces observations en conditions exactes. La propriété centrale est la colinéarité. Deux vecteurs non nuls sont colinéaires lorsqu’ils ont la même direction ; leurs sens et leurs longueurs peuvent être différents.

Si u⃗ est non nul, les vecteurs u⃗ et v⃗ sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel k tel que v⃗ = k u⃗. Un coefficient positif conserve le sens, un coefficient négatif l’inverse. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur ; l’égalité 0⃗ = 0u⃗ le confirme. En revanche, si u⃗ est nul et v⃗ non nul, on ne peut pas écrire v⃗ = k u⃗. Il faut donc préciser quel vecteur est choisi comme référence non nulle.

Pour étudier l’alignement de A, B et C avec A différent de B, on compare →AB et →AC. Le choix d’une même origine rend l’interprétation directe : C appartient à la droite passant par A et B si le déplacement vers C suit sa direction. Pour étudier deux droites (AB) et (CD), avec A différent de B et C différent de D, on compare leurs vecteurs directeurs →AB et →CD. Utiliser →AC à la place du second changerait la question.

Pour u⃗ = (x ; y) et v⃗ = (x′ ; y′), on définit det(u⃗, v⃗) = xy′ − yx′. Les deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si ce déterminant est nul. Il faut effectuer les deux produits avant la soustraction. Cette méthode fonctionne même quand une coordonnée est nulle, alors que les comparaisons de quotients risquent de conduire à une division par zéro.

Pourquoi un multiple donne-t-il un déterminant nul ? Si v⃗ = k u⃗, on a x′ = kx et y′ = ky. Alors xy′ − yx′ = xky − ykx = 0. Réciproquement, si le déterminant est nul et x est non nul, on pose k = x′/x : l’égalité xy′ = yx′ donne y′ = ky. Si x est nul mais y non nul, la même démarche utilise y. Si u⃗ est nul, la colinéarité est déjà assurée.

Inverser l’ordre des deux vecteurs change le signe du déterminant, mais pas sa nullité. Un résultat non nul, même très petit, suffit à réfuter la colinéarité si les données sont exactes. Pour des coordonnées issues de mesures, un résultat approché appelle davantage de prudence : une tolérance choisie par un logiciel ne transforme pas une observation en preuve géométrique.

Trois points sont alignés lorsqu’ils appartiennent à une même droite. Si A et B sont distincts, →AB donne une direction de cette droite. Il suffit de montrer que →AC est colinéaire à →AB. On calcule d’abord les différences de coordonnées, puis le déterminant. Si le résultat est nul, on conclut à l’alignement en citant la propriété ; si le résultat est non nul, on conclut que les points ne sont pas alignés.

Dans une relation →AM = k→AB, les valeurs de k donnent la position de M : pour k entre 0 et 1, M appartient à [AB] ; pour k négatif, il est de l’autre côté de A ; pour k supérieur à 1, il est au-delà de B. Les bornes k = 0 et k = 1 redonnent A et B. Cette lecture relie une égalité de vecteurs à une information plus précise que le seul mot alignement.

Deux droites ayant des vecteurs directeurs colinéaires ont la même direction. Elles peuvent être distinctes ou confondues. Pour prouver un parallélisme strict, il faut donc aussi vérifier qu’un point de l’une n’appartient pas à l’autre. Cette précision est utile quand l’énoncé demande la position relative des droites. Un vecteur nul n’est jamais directeur d’une droite : on doit contrôler que chaque paire de points utilisée est distincte.

On peut également chercher une coordonnée inconnue pour imposer un alignement. Avec A(0 ; 0), B(2 ; 3) et M(4 ; t), le déterminant est 2t − 12. La condition d’alignement équivaut à 2t − 12 = 0, donc t = 6. C’est une équivalence : la valeur trouvée est nécessaire et elle suffit. La substitution dans le déterminant final vérifie qu’aucune erreur de signe n’a été commise.

En Python, une fonction determinant(u, v) peut renvoyer u[0]*v[1] − u[1]*v[0]. Le symbole * signifie multiplication dans ce langage. Une fonction d’alignement calcule d’abord les vecteurs à partir des points, puis teste la nullité du résultat. Pour des coordonnées entières de taille raisonnable, le calcul entier évite les arrondis. Avec des décimaux stockés en nombres flottants, le résultat peut être légèrement perturbé ; on distingue alors exploration numérique et preuve exacte.