Résoudre des problèmes dans un repère

Un repère donne des coordonnées aux points ; il permet de traduire une situation géométrique en calculs. Avant d’utiliser une formule de longueur, lis sa nature. Dans un repère orthogonal, les axes sont perpendiculaires. Dans un repère orthonormé, ils sont perpendiculaires et les vecteurs unités ont la même longueur. La formule usuelle de distance utilisant deux carrés sans coefficient suppose ce dernier cadre. Pour calculer un milieu, cette restriction n’est pas nécessaire.

Une démarche solide commence par une figure et une liste des données. Indique les coordonnées connues, nomme les points recherchés et écris la propriété attendue : être milieu, être équidistant, être projeté orthogonal. Les apparences ne remplacent aucune de ces conditions. Un point qui paraît au centre d’un dessin n’est pas nécessairement un milieu ; un trait vertical sur la feuille n’est pas automatiquement perpendiculaire à une droite oblique.

Les coordonnées peuvent exprimer des mètres, des kilomètres ou simplement des unités de longueur. On garde la même unité pendant les calculs et on la précise dans la réponse. Quand les résultats sont irrationnels, la forme exacte avec une racine carrée conserve l’information. Une valeur décimale arrondie aide à interpréter une distance concrète mais ne doit pas remplacer trop tôt le résultat exact.

Pour A(xA ; yA) et B(xB ; yB), le milieu I a pour coordonnées ((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2). On calcule séparément la moyenne des abscisses et celle des ordonnées. Cette formule se déduit de →AI = →IB : sur la première coordonnée, xI − xA = xB − xI, donc 2xI = xA + xB. La même égalité sur la seconde coordonnée donne la formule de yI.

La formule du milieu peut se lire à l’envers. Si A et I sont connus, les coordonnées de l’autre extrémité B sont xB = 2xI − xA et yB = 2yI − yA. Cette construction est une symétrie centrale de centre I. Il ne faut pas confondre le milieu d’un segment et un point simplement équidistant des extrémités : tous les points de la médiatrice sont équidistants, tandis qu’un seul appartient aussi au segment.

Dans un repère orthonormé, AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²). Les deux différences peuvent être négatives, mais leurs carrés sont positifs ou nuls. La distance obtenue est la même en inversant A et B. Elle est nulle si et seulement si les deux points sont confondus. La formule relie donc la géométrie des longueurs aux coordonnées des déplacements.

Pour comparer deux distances positives, on peut comparer leurs carrés. Cela évite de manipuler des racines et conserve l’exactitude. Pour vérifier qu’un triangle est rectangle, on calcule les trois carrés des longueurs puis on cherche si le plus grand est la somme des deux autres. On cite ensuite la réciproque du théorème de Pythagore. Une égalité seulement approchée ne suffit pas lorsque les données sont exactes.

La même méthode permet de reconnaître un cercle : pour un centre O et un rayon r positif, M appartient au cercle si et seulement si OM² = r². Elle permet aussi de prouver qu’un quadrilatère est un rectangle, en combinant une propriété de milieu des diagonales avec une égalité de longueurs appropriée. Il faut annoncer les conditions suffisantes utilisées ; une unique égalité de longueurs ne caractérise pas n’importe quelle figure.

Le projeté orthogonal H d’un point A sur une droite d est le point de d tel que (AH) soit perpendiculaire à d, lorsque A n’appartient pas à d. Si A appartient à d, son projeté est A lui-même. Pour une droite horizontale y = c dans un repère orthonormé, le projeté de A(xA ; yA) est H(xA ; c). Pour une droite verticale x = c, il est H(c ; yA).

Le projeté orthogonal réalise la plus courte distance entre le point et la droite. Pour le comprendre, prends un autre point M sur d. Le triangle AHM est rectangle en H ; Pythagore donne AM² = AH² + HM², donc AM² est supérieur ou égal à AH². Comme les distances sont positives, AM est supérieur ou égal à AH. L’égalité n’a lieu que si HM est nul, c’est-à-dire si M = H.

Un programme Python peut calculer le carré d’une distance par pow(B[0] − A[0], 2) + pow(B[1] − A[1], 2). Dans cette écriture de code, pow(nombre, 2) calcule un carré. On peut aussi calculer les coordonnées d’un milieu puis vérifier que les déplacements des deux demi-segments sont égaux. La calculatrice fournit ensuite des valeurs approchées si elles sont demandées. Elle ne vérifie pas à ta place que le repère autorise la formule.