Décrire et croiser des droites

Une équation de droite est une condition sur les coordonnées de tous ses points. Dire que d a pour équation 2x − y + 1 = 0 signifie qu’un point M(x ; y) appartient à d si et seulement si ses coordonnées vérifient cette égalité. Tester une appartenance consiste à remplacer les deux inconnues par les coordonnées du point, puis à calculer. Le résultat ne dépend pas de l’apparence du dessin.

Dans un repère, une équation cartésienne de droite s’écrit ax + by + c = 0, où a et b ne sont pas tous deux nuls. Cette dernière condition est essentielle. Si a = b = 0, l’égalité restante est soit toujours vraie, soit toujours fausse ; elle ne décrit pas une droite. Multiplier tous les coefficients d’une équation par un même nombre non nul donne la même droite.

Un vecteur directeur de la droite ax + by + c = 0 est (−b ; a). Il est non nul puisque a et b ne sont pas tous deux nuls. Pour comprendre cette formule, pars d’un point A de la droite et avance de t(−b ; a). Les variations des termes ax et by sont −abt et abt : elles s’annulent. Le point obtenu vérifie donc encore l’équation. Cette idée relie équation cartésienne et déplacement vectoriel.

Deux points distincts A et B définissent une droite unique. Le vecteur →AB = (u ; v) en est un directeur. Pour qu’un point M(x ; y) appartienne à cette droite, →AM doit être colinéaire à →AB. La condition s’écrit u(y − yA) − v(x − xA) = 0. En développant et en regroupant, on obtient une équation cartésienne. Cette méthode reste utilisable si la droite est verticale.

Une fois l’équation trouvée, substituer les coordonnées de A et B constitue un contrôle rapide. Si un point ne vérifie pas l’égalité, une erreur de signe ou de développement est probable. Si A et B étaient confondus, le vecteur obtenu serait nul et aucune direction unique ne serait fixée. Vérifier que les points sont distincts protège donc à la fois la géométrie et l’algèbre.

Si b est non nul dans ax + by + c = 0, on peut isoler y : y = (−a/b)x − c/b. On note souvent m = −a/b et p = −c/b. Le nombre m est le coefficient directeur et p l’ordonnée à l’origine. Pour deux points de cette droite avec des abscisses différentes, m = (yB − yA)/(xB − xA). Cette formule exprime le rapport entre variation verticale et variation horizontale.

Lorsque b = 0, a est non nul et l’équation devient x = −c/a : la droite est verticale. Son abscisse est constante tandis que son ordonnée peut prendre toutes les valeurs réelles. Elle ne peut pas représenter une fonction de x, car une même abscisse correspond à plusieurs ordonnées. Le quotient servant à calculer un coefficient directeur aurait un dénominateur nul ; on ne lui attribue donc pas un coefficient directeur.

Pour tracer y = mx + p, on place deux points distincts dont les coordonnées vérifient l’équation. Choisir des abscisses adaptées simplifie les calculs : avec m = 1/3, avancer de trois unités horizontalement donne une unité verticalement. Avec x = c, on choisit directement deux ordonnées différentes et la même abscisse c. Une droite n’est pas limitée au segment reliant les deux points utilisés.

Un point commun à deux droites doit vérifier leurs deux équations simultanément. Résoudre un système revient donc à déterminer leur intersection. La substitution consiste à isoler une inconnue dans une équation et à remplacer son expression dans l’autre. La combinaison consiste à multiplier les équations par des nombres appropriés, puis à les ajouter pour supprimer une inconnue. On conserve des transformations équivalentes afin de garder les mêmes solutions.

Deux droites peuvent être sécantes, strictement parallèles ou confondues. Le système possède respectivement un seul couple solution, aucun couple solution ou une infinité de couples solutions. Une égalité impossible comme 0 = 4 montre l’absence de solution. Une identité comme 0 = 0 indique qu’une condition est redondante ; on garde alors l’autre équation pour décrire tous les couples. Une seule identité n’autorise pas à dire que tous les points du plan conviennent.

On peut programmer un test d’appartenance en calculant a*x + b*y + c. Pour explorer une intersection, une boucle parcourt des valeurs de x et compare les ordonnées des deux droites non verticales. Le résultat obtenu dépend du pas choisi et peut manquer une intersection entre deux valeurs testées. Le calcul algébrique complète donc le graphique. Une lecture sur écran donne une approximation ; une résolution exacte et une substitution donnent une preuve pour des données exactes.