Lire variations et extremums

Une fonction f est croissante sur un intervalle I si, pour toutes les entrées a et b de cet intervalle avec a < b, on a f(a) ≤ f(b). Elle est décroissante si l’on a au contraire f(a) ≥ f(b). La croissance conserve donc l’ordre des entrées, tandis que la décroissance l’inverse au sens large. Pour une fonction strictement croissante, l’inégalité entre les images est stricte ; de même pour une fonction strictement décroissante. Il faut préciser l’intervalle, car une même fonction peut changer de comportement.

Une fonction constante est à la fois croissante et décroissante au sens large : ses images sont égales, et vérifient donc les deux inégalités larges. Elle n’est ni strictement croissante ni strictement décroissante sur un intervalle contenant au moins deux nombres. Ce vocabulaire demande de distinguer les mots et les symboles. Dire une fonction monte peut aider à lire un dessin, mais la définition permet de raisonner sur toutes les paires d’entrées, même lorsque leurs images ne sont pas connues numériquement.

Le signe est une autre information. La fonction f(x) = −x sur [1 ; 3] est négative et strictement décroissante ; la fonction g(x) = x − 10 sur [1 ; 3] est négative et strictement croissante. Le fait que la courbe reste sous l’axe horizontal n’impose donc aucun sens de variation. Pour étudier un signe, on compare à zéro. Pour étudier une variation, on compare deux images quand l’entrée augmente.

Pour lire les variations sur une courbe, on se déplace de gauche à droite, dans le sens des abscisses croissantes. On repère les intervalles sur lesquels les ordonnées augmentent, diminuent ou restent constantes. Un tableau présente sur sa première ligne les bornes du domaine et les entrées où un changement de comportement se produit. La seconde ligne place les images correspondantes et les relie par des flèches montantes ou descendantes. Les deux lignes ne doivent jamais mélanger abscisses et ordonnées.

Le tableau ne fixe pas les valeurs intermédiaires. Une infinité de courbes peuvent décroître de 5 à −4 puis croître jusqu’à 0 tout en passant par les mêmes points extrêmes. Il ne permet donc pas de tracer une courbe précise sans informations supplémentaires, ni de calculer exactement f(0) à partir des seules flèches. Avec la formule, on peut calculer f(0) = −3 ; avec le tableau seul, on sait seulement que cette image se trouve entre −4 et 5.

Deux entrées situées dans des intervalles de variation différents ne se comparent pas automatiquement avec une seule flèche. Pour la fonction précédente, comparer f(0) à f(2) demande une information supplémentaire ; la formule montre qu’elles valent toutes deux −3. Un tableau qui descend puis remonte n’indique pas quelle branche est plus haute pour deux entrées choisies arbitrairement. On peut parfois comparer grâce à des encadrements disjoints, mais il faut les expliciter.

Un maximum M sur un intervalle I est une valeur atteinte telle que toutes les images sur I soient inférieures ou égales à M. On précise une entrée a où f(a) = M. De même, un minimum m est une valeur atteinte telle que toutes les images soient supérieures ou égales à m. Le maximum est une image ; l’entrée où il est atteint est une abscisse. Une fonction peut atteindre la même valeur extrême en plusieurs entrées différentes.

Sur [−2 ; 3], la fonction étudiée atteint son minimum −4 en x = 1. Pour trouver son maximum, on ne regarde pas seulement le changement de variation : il faut aussi comparer les valeurs aux extrémités. Les images aux bornes sont 5 et 0 ; le maximum global est donc 5, atteint en −2. Une valeur extrême peut se trouver à une borne. Sur un autre intervalle, le résultat peut changer, même si la formule est identique.

Le mot atteint compte. Pour f(x) = x sur ]0 ; 1[, les images s’approchent autant que l’on veut de 1 mais ne valent jamais 1. Il n’y a donc pas de maximum sur cet intervalle. Il n’y a pas non plus de minimum, puisque zéro est exclu. Un dessin limité ou un tableau d’essais ne suffit pas à transformer une borne approchée en une valeur effectivement atteinte. Les crochets du domaine jouent ici un rôle décisif.

Pour justifier une variation à partir d’une formule, on choisit deux entrées u < v d’un même intervalle et on étudie f(v) − f(u). Si cette différence est positive ou nulle pour toutes ces paires, la fonction est croissante. Pour une fonction affine f(x) = mx + p, on obtient f(v) − f(u) = (mv + p) − (mu + p) = m(v − u). Comme v − u > 0, le signe de m détermine le sens de variation. Les lettres u et v désignent les entrées, m la pente et p l’ordonnée à l’origine.

Un balayage Python peut explorer les images sur un maillage et repérer une zone où elles semblent maximales ou minimales. Pour la fonction étudiée, une boucle sur des entrées espacées de 0,1 rencontre l’entrée 1 et retrouve la valeur −4. Mais pour une autre fonction, le minimum peut se trouver entre deux points du maillage. Réduire le pas améliore l’approximation sans démontrer l’absence d’une valeur plus basse. On utilise donc le calcul et les propriétés connues pour confirmer le résultat.