Comparer les fonctions de référence

La fonction carré associe x² à tout réel x. Ses valeurs sont positives ou nulles, avec l’unique zéro x = 0. Sa courbe est une parabole, symétrique par rapport à l’axe vertical car (−x)² = x². Elle est strictement décroissante sur ]−∞ ; 0] et strictement croissante sur [0 ; +∞[. Pour justifier ces variations, on compare deux nombres a < b : b² − a² = (b − a)(b + a). Le premier facteur est positif ; le signe du second dépend du côté de zéro où l’on travaille.

La fonction valeur absolue associe à x sa distance à zéro. Elle est définie sur ℝ et vaut −x pour x < 0, puis x pour x ≥ 0. Sa courbe forme un V : une demi-droite de pente −1 à gauche, une demi-droite de pente 1 à droite. Elle décroît jusqu’à zéro puis croît après zéro. Comme le carré, elle donne la même image aux nombres opposés, mais elle ne calcule pas la même quantité : |3| = 3 tandis que 3² = 9.

La fonction inverse associe 1/x à tout réel non nul. Son domaine est ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[. Le signe de l’image est celui de x, car le numérateur 1 est positif. Aucun point de sa courbe n’a pour abscisse zéro, puisque 1/0 n’existe pas ; aucun n’a pour ordonnée zéro, puisque 1/x ne peut pas être nul. La courbe possède deux branches qui sont symétriques par rapport à l’origine : remplacer x par −x remplace l’image par son opposé.

Sur chacun des intervalles ]−∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[, la fonction inverse est strictement décroissante. En effet, pour a < b de même signe, 1/b − 1/a = (a − b)/(ab). Le numérateur est négatif et le dénominateur positif, donc la différence est négative. Cette preuve ne vaut pas lorsque a et b sont de signes opposés. On ne dit donc pas que l’inverse est décroissante sur tout son domaine : par exemple −1 < 1, mais leurs inverses vérifient −1 < 1.

Le nombre 1/(−4) vaut −0,25, tandis que 1/(−2) vaut −0,5. Ainsi −4 < −2 mais 1/(−4) > 1/(−2), conformément à la décroissance sur la branche négative. Un nombre plus proche de zéro peut avoir un inverse de plus grande valeur absolue. Il ne faut donc pas comparer des inverses en ne regardant que la taille apparente des dénominateurs sans tenir compte de leurs signes.

La fonction racine carrée associe √x à x pour x ≥ 0. Son image est positive ou nulle. Elle est strictement croissante sur [0 ; +∞[ : si 0 ≤ a < b, alors √a < √b, car une relation contraire entre ces deux nombres positifs contredirait la croissance du carré sur les positifs. Sa courbe commence à l’origine et passe par (1 ; 1), (4 ; 2) et (9 ; 3). Elle n’a aucun point pour une entrée négative dans le cadre des réels.

La fonction cube associe x³ à tout réel x. Elle conserve le signe et est strictement croissante sur ℝ. Sa courbe passe par (−2 ; −8), (−1 ; −1), (0 ; 0), (1 ; 1) et (2 ; 8). Contrairement au carré, elle donne des images opposées aux nombres opposés : (−x)³ = −x³. Par exemple x³ = −8 possède la solution x = −2. L’unicité vient de la stricte croissance ; deux entrées distinctes ne peuvent pas avoir la même image.

Le carré, le cube et la racine coïncident en 0 et en 1, mais ce point commun ne permet pas de les confondre. À x = 2, les images valent respectivement 4, 8 et √2. À x = 1/2, le carré vaut 1/4, le cube 1/8 et la racine est plus grande que 1/2. Pour comparer des images issues de fonctions différentes, on doit étudier leurs positions relatives ; connaître leurs variations séparément ne suffit pas.

Pour x ≥ 0, comparer x² à x revient à étudier x² − x = x(x − 1). Entre 0 et 1, le premier facteur est positif ou nul et le second négatif ou nul, donc x² ≤ x. Pour x ≥ 1, les deux facteurs sont positifs ou nuls, donc x² ≥ x. Les égalités ont lieu exactement en 0 et en 1. Cette démonstration explique les deux zones visibles sur la figure, au lieu de les déduire d’un dessin limité.

Pour tracer ces fonctions avec Python ou un tableur, on prépare des entrées adaptées à leur domaine. La racine demande des entrées positives ou nulles ; l’inverse exige d’écarter zéro et de séparer les deux branches. Relier directement un point de la branche négative à un point de la branche positive introduirait un segment qui n’appartient pas à la courbe. Les calculs numériques soutiennent l’exploration, tandis que les définitions et les différences d’images justifient les propriétés.