Résoudre des inéquations et comparer

Comparer A et B revient à déterminer lequel est le plus grand, ou à constater leur égalité. La différence A − B donne une méthode universelle lorsque les expressions sont définies : si elle est strictement positive, A > B ; si elle est nulle, A = B ; si elle est strictement négative, A < B. Cette méthode fonctionne aussi avec des nombres négatifs, des fractions et des expressions comportant une variable. Elle évite de comparer seulement les écritures visibles, par exemple les numérateurs de fractions dont les dénominateurs sont différents.

Pour comparer 7/12 et 5/9, on calcule 7/12 − 5/9 = 21/36 − 20/36 = 1/36. La différence est strictement positive, donc 7/12 > 5/9. Si A et B sont strictement positifs, on peut aussi comparer leur rapport A/B à 1 : un rapport supérieur à 1 signifie A > B, et un rapport inférieur à 1 signifie A < B. La positivité du dénominateur est essentielle pour conserver le sens de l’ordre lors de la multiplication par B.

La différence et le rapport ne décrivent pas la même information. Si un prix passe de 20 € à 25 €, la différence est 5 € et le rapport 25/20 est 1,25. La première mesure un écart additif ; le second un facteur multiplicatif. Comparer deux modèles A(x) et B(x) consiste souvent à étudier le signe de A(x) − B(x) selon les valeurs de x. Il faut alors donner les conditions sur x, et non annoncer une comparaison qui serait vraie partout sans justification.

Ajouter un même réel aux deux membres d’une inégalité conserve son sens. Multiplier ou diviser par un réel strictement positif conserve aussi son sens. En revanche, multiplier ou diviser par un réel strictement négatif inverse le sens. Par exemple 2 < 5 donne −4 > −10 après multiplication par −2. La multiplication par zéro ne conserve pas l’équivalence. Par exemple, x ≤ 1 deviendrait 0 ≤ 0, vrai pour tout x, tandis que x < 1 deviendrait 0 < 0, toujours faux. Dans les deux cas, l’ensemble des solutions change.

On peut additionner membre à membre deux inégalités orientées dans le même sens. Si a ≤ b et c ≤ d, alors a + c ≤ b + d. Cela ne signifie pas qu’on puisse soustraire membre à membre de la même manière : changer c en −c inverse son ordre. Pour une multiplication par une expression contenant x, on doit d’abord connaître son signe, éventuellement en séparant plusieurs cas. Multiplier une inéquation par x sans cette précaution peut donc modifier ses solutions.

Pour une expression ax + b avec a ≠ 0, on cherche d’abord son zéro x₀ = −b/a. Le signe change de part et d’autre de ce zéro. Si a > 0, l’expression est négative avant x₀ et positive après. Si a < 0, les signes sont inversés. Cela se justifie en écrivant ax + b = a(x − x₀), puis en appliquant la règle des signes d’un produit. Tester une valeur de chaque côté peut servir de contrôle ; la justification que le signe reste constant vient de cette écriture.

Pour un produit de deux facteurs du premier degré, on place leurs zéros dans l’ordre sur une même ligne. On détermine le signe de chaque facteur sur chacun des intervalles obtenus, puis on multiplie les signes : deux facteurs de même signe donnent un produit positif ; deux signes opposés donnent un produit négatif. Aux zéros, le produit vaut zéro. Le tableau de signes est une organisation de ces informations, et non une règle permettant de deviner le signe sans examiner les facteurs.

Pour une inégalité stricte < 0, on aurait exclu les zéros et obtenu ]−1 ; 2[. Pour ≥ 0, on aurait conservé les deux zones extérieures et leurs bornes. La différence entre strict et large porte donc sur les points où l’expression vaut zéro, mais elle ne modifie pas le signe à l’intérieur des intervalles. Lorsque plusieurs contraintes s’appliquent simultanément, on termine en prenant leur intersection.

Le signe d’un quotient se détermine avec la même règle que celui d’un produit, mais le dénominateur doit être non nul. Un zéro du numérateur peut être une solution d’une inégalité large. Un zéro du dénominateur est toujours exclu, même pour ≤ ou ≥. On le distingue donc des autres frontières dans le tableau de signes. La première ligne ne contient pas seulement les zéros : elle contient aussi les valeurs où le quotient n’existe pas.

Dans un problème de comparaison, on ramène d’abord tout dans un seul membre pour comparer à zéro. Si deux fractions interviennent, on les met au même dénominateur en conservant les valeurs interdites. On factorise ensuite le numérateur lorsque c’est utile. Une lecture graphique peut aider à choisir une conjecture ou à contrôler les zones obtenues, mais le graphique approché ne remplace pas l’étude exacte des signes, notamment près des frontières.

Un test Python peut comparer la condition initiale et l’appartenance à l’ensemble obtenu pour plusieurs valeurs. Les essais les plus utiles sont des valeurs de part et d’autre des frontières, les zéros eux-mêmes et les valeurs interdites qui doivent être écartées avant tout quotient. Une boucle sur ces candidats détecte beaucoup d’erreurs de crochets ou de sens. Elle ne prouve cependant pas l’égalité des deux ensembles infinis ; le raisonnement par intervalles apporte cette preuve.