Décrire une fonction

Une fonction f associe à chaque nombre x de son ensemble de définition un unique nombre noté f(x). L’ensemble de définition, souvent noté D, rassemble les valeurs autorisées de x. La lettre x désigne la variable ; f désigne la fonction ; f(x) désigne le résultat associé à x. L’écriture f(2) ne signifie pas f multiplié par 2 : elle désigne la valeur prise par la fonction pour l’entrée 2. Plusieurs nombres de départ peuvent avoir le même résultat, mais une entrée autorisée ne peut pas avoir deux images différentes.

Par exemple, la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x² − 1 associe 3 à −2 et aussi 3 à 2. Cela respecte bien la définition : chaque entrée a une seule image, même si les deux images coïncident. Une règle qui associerait à 4 simultanément 2 et −2 ne définirait pas une fonction à valeur unique. Pour la racine carrée, on retient donc la valeur positive ou nulle : √4 = 2. Le choix de cette valeur fait partie de la définition.

Pour préciser une fonction, il faut connaître sa règle et son domaine. La formule x² − 1 sur ℝ et la même formule restreinte à [0 ; +∞[ ne donnent pas les mêmes possibilités d’antécédents, car les entrées négatives ne sont pas autorisées dans le second cas. Dans un problème concret, le domaine vient aussi du contexte : une durée peut être positive, un nombre de billets est entier, une longueur peut être limitée par la taille d’un objet.

Une formule peut imposer des restrictions. Dans une fraction, le dénominateur doit être non nul. Pour q(x) = 1/(x − 2), la valeur 2 est interdite et toutes les autres valeurs réelles sont possibles. Le domaine est ℝ privé de 2, soit ]−∞ ; 2[ ∪ ]2 ; +∞[. Dans une racine carrée, le nombre sous la racine doit être positif ou nul. La formule s(x) = √(5 − x) impose 5 − x ≥ 0, donc x ≤ 5.

Lorsque plusieurs opérations imposent des conditions, elles doivent être satisfaites en même temps. On prend donc l’intersection des ensembles autorisés. Il ne suffit pas de traiter la dernière opération visible dans l’écriture. Le domaine doit être fixé avant un calcul d’image : on ne peut pas calculer l’image d’un nombre qui n’y appartient pas. On dit alors que la fonction n’est pas définie en ce nombre, et non que son image vaut zéro ou l’infini.

Les antécédents d’un nombre b par f sont les nombres x du domaine tels que f(x) = b. Rechercher des antécédents revient donc à résoudre une équation, puis à conserver les solutions autorisées. Il peut y avoir aucun antécédent, un seul ou plusieurs. Pour f(x) = x² − 1 sur ℝ, un nombre inférieur à −1 n’a aucun antécédent puisque x² reste positif ou nul. Le nombre −1 possède l’unique antécédent 0, et tout nombre supérieur à −1 en possède deux, opposés.

Pour lire une image sur une courbe, on part de l’abscisse, on rejoint verticalement la courbe, puis on lit l’ordonnée. Pour lire les antécédents de b, on trace mentalement l’horizontale d’ordonnée b et on relève les abscisses de toutes ses intersections avec la courbe. Une droite verticale rencontre au plus une fois la courbe d’une fonction, tandis qu’une horizontale peut la rencontrer plusieurs fois. C’est la traduction graphique de la différence entre image unique et antécédents éventuellement multiples.

Un tableau de valeurs donne certaines associations entre entrées et images. Il permet de lire les images des entrées indiquées et de placer des points, mais ne décrit pas forcément la fonction entre ces valeurs. Une courbe apporte une information plus globale dans une fenêtre donnée, avec une précision liée aux graduations. Une formule permet souvent un calcul exact et une démonstration. Il faut donc distinguer ce qui est connu par définition, ce qui est lu approximativement et ce qui reste impossible à déduire du support fourni.

Pour une commande de n articles avec un forfait de 2 € et un prix de 3 € par article, on peut poser u(n) = 3n + 2. Ici n est un entier naturel. Les images de 0, 1, 2, 3 et 4 sont 2, 5, 8, 11 et 14. Une commande de 1,5 article n’est pas envisagée dans ce modèle. Les points restent donc séparés sur la représentation ; les relier introduirait des entrées qui ne correspondent pas au contexte.

Dans un programme Python, une fonction nommée cout peut prendre l’argument n et renvoyer 3*n + 2. Le nom de l’argument local peut changer sans modifier la règle. Il faut cependant distinguer une fonction mathématique et l’exécution informatique : le programme peut accepter une entrée décimale si aucun contrôle ne l’interdit, alors que le domaine choisi dans le problème contient seulement des entiers naturels. Les conditions d’entrée doivent donc être expliquées ou vérifiées explicitement.

Un graphique peut aussi suggérer une erreur de calcul. Si tu trouves f(−2) = −5 pour la fonction carré diminuée de 1, la courbe montre une ordonnée positive à l’abscisse −2. Cette contradiction invite à reprendre la substitution, mais elle ne corrige pas à elle seule le calcul. L’aller-retour entre les représentations est utile parce que chaque support éclaire une propriété différente. Il ne faut jamais remplacer la lecture d’un axe par une impression de hauteur ou de largeur sans vérifier son échelle.