Relier fonctions affines et droites

Une fonction affine est définie par une expression f(x) = ax + b, où a et b sont des réels fixés. Le nombre a est le coefficient directeur ou pente. Le nombre b est l’ordonnée à l’origine, car f(0) = b. La fonction linéaire est le cas particulier b = 0 ; sa courbe passe par l’origine et exprime une situation de proportionnalité. Une fonction constante est le cas particulier a = 0. Elle reste affine, même si sa valeur ne varie pas.

Pour une fonction affine, la différence entre deux images vérifie f(v) − f(u) = a(v − u). Cette égalité explique le rôle de a : quand x augmente de 1, l’image augmente de a, au sens algébrique. Si a = −2, l’image diminue de 2. Pour un pas de 3, la variation est 3a. Le coefficient b déplace toutes les images de la même quantité, mais n’intervient pas dans la différence de deux images : il n’affecte donc pas la pente.

Le signe du coefficient directeur donne le sens de variation. Si a > 0, la fonction est strictement croissante ; si a < 0, elle est strictement décroissante ; si a = 0, elle est constante. Pour le justifier, on choisit u < v. Alors v − u > 0 et f(v) − f(u) a le signe de a. Cette preuve ne dépend pas du dessin. Elle évite de conclure d’après une droite qui paraît plus ou moins inclinée parce que les unités des axes ont été modifiées.

Dans un repère, la courbe de f(x) = ax + b est la droite d’équation y = ax + b. Un point M(u ; v) lui appartient si et seulement si v = au + b. Pour tracer cette droite, deux points distincts suffisent : on peut placer (0 ; b), puis calculer l’image d’une autre abscisse commode. On trace ensuite la droite entière lorsque le domaine est ℝ, ou seulement la portion correspondant au domaine si le contexte impose une restriction.

Lorsque la pente est fractionnaire, on choisit un déplacement qui évite des coordonnées approchées. Pour y = x/3 − 2, partir du point (0 ; −2) et avancer de 3 en abscisse fait monter de 1 en ordonnée ; le deuxième point est (3 ; −1). Cette méthode donne des coordonnées exactes. Avancer de 1 imposerait une montée de 1/3, plus délicate à placer sur une graduation entière. On garde le rapport des variations, et non une règle imposant toujours un pas de 1.

Toute droite non verticale représente une fonction affine de x. Une droite verticale, d’équation x = c, n’en représente pas une : pour la même abscisse c, elle contient plusieurs ordonnées. Elle n’a donc pas de coefficient directeur défini par un quotient de variations. Une droite horizontale, en revanche, représente une fonction constante y = b et possède une pente nulle. La différence tient à l’unicité de l’image, pas au fait qu’une droite semble simple à dessiner.

Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) sont deux points de la droite avec xA ≠ xB, alors a = (yB − yA)/(xB − xA). Le numérateur et le dénominateur doivent être calculés dans le même ordre. Inverser simultanément les deux différences ne change pas le quotient ; n’inverser qu’une des deux change son signe. Une fois a obtenu, on remplace les coordonnées d’un des points dans y = ax + b pour calculer b. On vérifie ensuite avec l’autre point.

Si un tableau fournit plusieurs valeurs et que l’on veut savoir si elles sont compatibles avec un modèle affine, on compare les rapports des variations pour des abscisses distinctes. Des rapports identiques sont nécessaires pour que les points soient alignés. Avec seulement deux points d’abscisses distinctes, il existe toujours une fonction affine qui passe par eux ; cela ne prouve pas qu’un phénomène réel est affine entre les mesures ou en dehors de la zone observée. La validité du modèle demande une justification dans le contexte.

Un prix composé d’un forfait fixe et d’un coût constant par unité se modélise naturellement par une fonction affine. Si le forfait est de 4 € et chaque heure coûte 2 €, on pose A(x) = 4 + 2x pour x heures. Le nombre 4 s’exprime en euros ; le nombre 2 s’exprime en euros par heure. Une valeur négative de x peut être utilisée dans la formule mathématique, mais n’a pas de sens pour une durée de location. Le domaine concret est donc x ≥ 0, éventuellement limité par d’autres règles.

Une croissance visuellement régulière sur trois mesures ne garantit pas une dépendance affine partout. Un tarif peut comporter un plafond, une réduction après une durée ou un arrondi à l’heure commencée. Il faut alors adapter le modèle ou son domaine. Dans le cadre exact choisi ici, les heures sont facturées proportionnellement à leur durée et les deux expressions sont données comme règles. La comparaison porte sur ces règles ; elle ne décrit pas des offres commerciales observées.

On peut programmer en Python une fonction tarif(x) qui renvoie 4 + 2*x. Une boucle sur plusieurs durées produit un tableau et aide à placer des points. Pour vérifier la propriété affine, on peut comparer les différences des images pour un même pas. Ces essais servent de contrôle ; l’identité A(v) − A(u) = 2(v − u) fournit la justification générale. Si les données sont des mesures arrondies, des différences légèrement différentes ne doivent pas être interprétées sans examiner la précision des mesures.