Résoudre des équations

Une solution est une valeur de l’inconnue pour laquelle les deux membres de l’équation existent et sont égaux. Pour 2x + 1 = 7, le nombre 3 est solution car 2 × 3 + 1 = 7. Le nombre 2 ne l’est pas. Résoudre consiste à rechercher toutes les solutions dans un ensemble donné, souvent ℝ. On les rassemble dans un ensemble S. Une équation peut avoir une solution, plusieurs solutions, aucune solution ou même tous les réels pour solutions : la présentation de la réponse doit permettre de distinguer ces situations.

Deux équations sont équivalentes lorsqu’elles possèdent exactement les mêmes solutions sur le domaine étudié. On peut ajouter ou soustraire une même expression dans les deux membres si elle est définie sur ce domaine. On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul. Ajouter zéro est bien sûr autorisé : la condition non nul concerne la multiplication ou la division nécessaires pour conserver l’équivalence. Écrire une suite d’équivalences impose donc de vérifier les conditions à chaque étape.

On évite la formule vague changer de côté, changer de signe. Elle résume parfois une opération correcte, mais elle peut masquer une erreur. Dans 3x − 5 = 10, on ajoute 5 aux deux membres pour obtenir 3x = 15. Dans 3x = 15, on divise les deux membres par 3, ce qui donne x = 5. Le coefficient 3 ne devient pas −3 : il intervient dans une division. Nommer les opérations rend le raisonnement contrôlable.

Une équation du type ax + b = 0, avec a ≠ 0, possède l’unique solution −b/a. Mais au cours d’un calcul, les termes en x peuvent disparaître. Si l’on obtient 0 = 0, l’égalité est vraie pour toutes les valeurs autorisées. Si l’on obtient 0 = 4, elle est impossible : il n’y a aucune solution. Il ne faut jamais diviser par le coefficient de x avant d’avoir vérifié qu’il n’est pas nul.

Par exemple 2(x + 1) = 2x + 2 donne 2x + 2 = 2x + 2, donc tous les réels conviennent. À l’inverse 2(x + 1) = 2x + 5 conduit à 2 = 5, ce qui est faux pour toute valeur de x. La réponse est alors S = ∅. Dans un problème concret, on intersecte ensuite l’ensemble obtenu avec les valeurs possibles dans la situation : un nombre d’objets doit être entier, une longueur doit être positive et un dénominateur doit rester non nul.

Un produit de deux réels est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul. Pour une équation A(x)B(x) = 0, on résout donc A(x) = 0 ou B(x) = 0. Le mot ou ne demande pas de choisir une branche et d’abandonner l’autre : il faut réunir toutes les solutions obtenues. Si une valeur annule les deux facteurs, on la compte une seule fois. Cette règle fonctionne parce qu’un produit de nombres non nuls ne peut pas valoir zéro.

La règle du produit nul s’applique seulement à un produit égal à zéro. Pour x² = 3x, on commence par soustraire 3x : x² − 3x = 0. On factorise alors par x, ce qui donne x(x − 3) = 0. La propriété fournit x = 0 ou x − 3 = 0, donc x = 0 ou x = 3. Diviser directement l’égalité initiale par x ne serait permis que pour x ≠ 0 et ferait disparaître une solution si le cas zéro n’était pas traité séparément.

Plus généralement, pour l’équation x² = a, le signe de a détermine les cas. Si a < 0, aucun réel ne convient puisque tout carré est positif ou nul. Si a = 0, la seule solution est zéro. Si a > 0, on trouve deux solutions opposées, −√a et √a. Ces résultats utilisent la définition de la racine carrée et la différence de deux carrés ; ils ne demandent pas la méthode générale des équations du second degré.

Un quotient n’existe pas lorsque son dénominateur vaut zéro. Avant toute transformation d’une équation quotient, on note donc les valeurs interdites. Sur le domaine où B(x) ≠ 0, l’équation A(x)/B(x) = k équivaut à A(x) = kB(x). La multiplication par B(x) est autorisée sur ce domaine précisément parce qu’il ne s’y annule pas. On résout l’équation obtenue, puis on vérifie que les solutions proposées appartiennent toujours au domaine initial.

Un quotient est nul exactement lorsque son numérateur est nul et son dénominateur non nul. Ainsi (x − 2)/(x − 2) = 0 n’a aucune solution : x = 2 annulerait le numérateur mais rendrait aussi le quotient interdit ; pour toute autre valeur, ce quotient vaut 1. Une valeur interdite ne peut jamais être réintroduite par une simplification. Le domaine est une partie du problème, pas une remarque facultative en marge du calcul.

Un programme Python peut tester des candidats, mais un balayage entier ne trouvera pas une solution comme 1/3 s’il ne visite que des entiers. Il peut aussi manquer une solution isolée entre deux points d’un maillage décimal. Il est donc utile pour contrôler une valeur ou explorer un graphique, sans remplacer la résolution exacte. Pour un quotient, le test doit d’abord vérifier que le dénominateur n’est pas nul ; sinon le programme provoque une erreur au lieu d’évaluer l’égalité.