Nombres réels et intervalles

L’ensemble ℕ contient les entiers naturels 0, 1, 2, 3 et ainsi de suite. L’ensemble ℤ contient aussi leurs opposés, comme −1 et −12. Les naturels sont donc des entiers relatifs. Le symbole ∈ signifie appartient à ; par exemple −3 ∈ ℤ. Le symbole ⊂ exprime une inclusion entre ensembles ; on écrit ℕ ⊂ ℤ. Un nombre est un élément, tandis qu’un ensemble est une collection d’éléments. On évite donc de remplacer le symbole d’appartenance par celui d’inclusion.

Un nombre décimal possède une écriture décimale finie. Il peut s’écrire a/10ⁿ, où a est un entier relatif et n un entier naturel. Par exemple −2,75 = −275/100. L’ensemble de ces nombres se note 𝔻. Un rationnel est un nombre qui peut s’écrire comme quotient de deux entiers, avec un dénominateur non nul ; leur ensemble est ℚ. Tout décimal est rationnel, mais la réciproque est fausse. Le nombre 1/3 en fournit un exemple essentiel.

L’ensemble ℝ correspond aux abscisses de tous les points d’une droite graduée. Il contient les rationnels et les irrationnels. Un irrationnel ne possède aucune écriture comme quotient de deux entiers. √2 et π sont des exemples. Les inclusions s’enchaînent ainsi, de l’ensemble le plus petit vers le plus grand : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Un même nombre appartient souvent à plusieurs de ces ensembles ; rechercher le plus petit ensemble usuel revient à donner la classification la plus précise.

Pourquoi 1/3 n’est-il pas décimal ? Supposons qu’il existe un entier a et un entier naturel n tels que 1/3 = a/10ⁿ. Le produit en croix donnerait 10ⁿ = 3a. Le membre de droite serait divisible par 3. Or 10 a le même reste que 1 dans la division par 3, donc toute puissance de 10 a également pour reste 1. Cela contredit l’égalité. Cette démonstration par l’absurde prouve qu’aucune écriture décimale finie ne peut représenter exactement 1/3 ; regarder une calculatrice ne le prouverait pas.

Pour √2, supposons une écriture √2 = p/q sous forme irréductible, avec p et q entiers positifs. En élevant au carré, p² = 2q², donc p² est pair. Le carré d’un impair étant impair, p est pair. Écrivons p = 2k. Alors 4k² = 2q², puis q² = 2k² ; q est lui aussi pair. Le numérateur et le dénominateur seraient tous deux divisibles par 2, contrairement au caractère irréductible de la fraction. La supposition est donc impossible : √2 est irrationnel.

Un intervalle regroupe tous les réels situés entre deux bornes, ou tous les réels situés d’un côté d’une borne. Pour a < b, [a ; b] signifie a ≤ x ≤ b ; les deux bornes sont incluses. L’écriture ]a ; b[ signifie a < x < b ; les bornes sont exclues. On peut mélanger les deux possibilités : [a ; b[ inclut a et exclut b. Le crochet se ferme vers l’intervalle lorsque la borne appartient à l’ensemble. Vérifie toujours les extrémités en les remplaçant dans l’inégalité initiale.

L’intervalle [a ; +∞[ décrit x ≥ a. L’écriture ]−∞ ; b[ décrit x < b. L’infini n’est pas un réel qui pourrait appartenir à l’ensemble : le crochet est toujours ouvert à son voisinage. Un intervalle contient tous les nombres intermédiaires. Les nombres vérifiant x < 0 ou x > 2 ne forment donc pas un seul intervalle, car les valeurs entre 0 et 2 restent absentes.

Un encadrement donne deux bornes entre lesquelles se trouve un nombre. Son amplitude est la différence entre la borne supérieure et la borne inférieure. Pour encadrer √2 au centième, on compare des carrés de nombres positifs : 1,41² = 1,9881 et 1,42² = 2,0164. Comme le carré conserve l’ordre entre nombres positifs, 1,41 < √2 < 1,42. L’amplitude est 0,01. Cette comparaison prouve les deux inégalités sans dépendre des chiffres affichés par une calculatrice.

Arrondir consiste à retenir la valeur la plus proche à la précision choisie. Pour départager 1,41 et 1,42, on compare √2 au milieu 1,415. Son carré vaut 2,002225, donc √2 < 1,415 : l’arrondi au centième est 1,41. Dans un problème de mesure, la précision demandée dépend des données et de l’usage du résultat. Écrire dix décimales n’améliore pas une mesure donnée au millimètre. On conserve les valeurs exactes dans les étapes, puis on arrondit le résultat final.

On peut automatiser un balayage de √2 sans lui confier la preuve. En Python, on initialise n = 0 puis on augmente n tant que (n + 1)² ≤ 20000. L’arrêt se produit pour n = 141. Les deux quotients n/100 et (n + 1)/100 donnent les bornes recherchées. Les comparaisons portent sur des entiers, ce qui évite de prendre un affichage décimal approché pour une égalité exacte. Le raisonnement sur les carrés justifie ensuite que l’encadrement obtenu est correct.