Distance et valeur absolue

Une abscisse indique une position sur une droite graduée : elle peut être négative, nulle ou positive. Une distance indique une longueur : elle est toujours positive ou nulle. La valeur absolue d’un réel x, notée |x|, est la distance du point d’abscisse x à l’origine d’abscisse 0. Ainsi |4| = 4, |−4| = 4 et |0| = 0. Les barres verticales demandent de mesurer cet écart ; elles ne sont ni des parenthèses ordinaires ni une consigne de supprimer n’importe quel signe dans une expression.

Si x ≥ 0, le point est à droite de l’origine ou sur elle, et |x| = x. Si x < 0, il est à gauche, et |x| = −x. Dans ce deuxième cas, −x désigne l’opposé d’un nombre négatif, donc un nombre positif. Par exemple, pour x = −7, −x = 7. L’écriture −x ne représente pas toujours un nombre négatif : son signe dépend de la valeur de x. Une valeur absolue n’est nulle que lorsque le point se confond avec l’origine.

Deux points d’abscisses opposées sont à la même distance de zéro. Cela explique que |−x| = |x|. Il ne faut pas confondre cette égalité avec |−x| = −|x|, qui est fausse dès que x est non nul. Pour x = 3, les deux membres de la seconde écriture valent respectivement 3 et −3. Un seul contre-exemple suffit à réfuter une affirmation annoncée pour tous les réels. En revanche, tester quelques valeurs ne suffit pas à démontrer une règle générale.

Soient A et B deux points d’abscisses a et b. La distance AB vaut |b − a|, et également |a − b|. Si b ≥ a, le point B est à droite de A et AB = b − a. Si b < a, le point A est à droite de B et AB = a − b. Ces deux cas justifient la formule avec une valeur absolue. On calcule donc d’abord la différence complète, puis sa valeur absolue. Le résultat est exprimé dans l’unité de la graduation.

Dans la figure, la soustraction 3 − (−2) devient 3 + 2, donc vaut 5. Dans l’autre sens, −2 − 3 vaut −5. La valeur absolue donne 5 dans les deux cas, car la longueur du segment ne dépend pas du sens choisi pour le parcourir. Si les deux abscisses étaient toutes deux négatives, on suivrait exactement la même règle. Entre −6 et −2, la distance vaut |−2 − (−6)| = |4| = 4, et non 8.

La même idée permet de mesurer un écart de température, un écart entre un résultat et une valeur de référence, ou une erreur de position. Si une valeur mesurée est m et la cible est c, l’écart absolu est |m − c|. Cette quantité ne dit pas si l’on est au-dessus ou au-dessous de la cible : pour le savoir, on étudie le signe de m − c. Les deux informations se complètent, mais ne répondent pas à la même question.

L’expression |x − a| représente la distance entre le point variable d’abscisse x et le point fixe d’abscisse a. Demander |x − a| ≤ r, avec r ≥ 0, signifie chercher les points situés à une distance au plus égale à r de ce centre. On peut avancer de r unités vers la gauche ou vers la droite. Les bornes extrêmes sont donc a − r et a + r. Tous les points compris entre elles conviennent, y compris les deux bornes puisque l’égalité est autorisée.

On obtient l’équivalence |x − a| ≤ r si et seulement si a − r ≤ x ≤ a + r. L’ensemble décrit est [a − r ; a + r]. Le mot centre désigne le milieu des bornes ; le rayon est la distance du centre à chaque borne, donc la moitié de la longueur totale de l’intervalle. Dans le cas a = 2 et r = 3, on trouve [−1 ; 5]. Le rayon est 3 tandis que la longueur totale est 6 : ces deux quantités ne doivent pas être confondues.

Si r = 0, la condition impose x = a : l’intervalle se réduit à un seul nombre, noté [a ; a] ou {a}. Si r < 0, aucune distance ne peut être inférieure ou égale à r, donc il n’existe aucune solution. Avec une distance strictement inférieure à un rayon positif, les points extrêmes sont exclus. On décrit alors l’intervalle ouvert ]a − r ; a + r[. Dans tous les cas, un contrôle des bornes dans la condition initiale permet de vérifier les crochets.

On peut aussi partir d’un intervalle fermé [u ; v], avec u ≤ v, pour retrouver une condition de distance. Son centre est a = (u + v)/2 et son rayon r = (v − u)/2. La première formule calcule la moyenne des deux bornes ; la seconde partage en deux la longueur totale. On vérifie que a − r = u et a + r = v avant de conclure. Cette démarche inverse sert lorsque les contraintes sont données comme un minimum et un maximum plutôt que comme un écart autorisé.

Par exemple, l’intervalle [−4 ; 2] a pour centre −1 et pour rayon 3. Il décrit donc |x + 1| ≤ 3, car x − (−1) = x + 1. Le centre se lit avec attention dans cette écriture : une somme x + 1 correspond à une distance au point −1. Pour le vérifier, remplace x par −1 ; l’expression doit alors donner une distance nulle. Cette vérification simple évite une erreur de signe qui déplacerait tout l’intervalle.

Pour programmer un contrôle numérique en Python, on peut définir une fonction proche(x, a, r) qui renvoie le résultat du test abs(x − a) <= r. Dans un programme, la soustraction se tape avec le caractère habituel du clavier et la comparaison se note <=. Le résultat est un booléen, c’est-à-dire True ou False. Pour des valeurs entières, on peut contrôler les cas aux bornes directement. Avec des mesures décimales calculées, l’ordinateur utilise des approximations ; on garde la condition mathématique exacte comme référence et on ne conclut pas sur la seule apparence d’un affichage.