Calculer et transformer une expression

Pour un entier naturel n non nul, aⁿ désigne le produit de n facteurs tous égaux à a. Par convention a⁰ = 1 lorsque a est non nul. Pour un entier positif n et un réel a non nul, a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Un exposant négatif indique donc un inverse, et non un résultat négatif. Ainsi 2⁻³ = 1/8, tandis que −2³ = −8. Les parenthèses sont déterminantes : (−2)² vaut 4, mais −2² vaut −4 car le carré est calculé avant le signe placé devant.

Pour une même base non nulle et des exposants entiers m et n, aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ et aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Une puissance de puissance vérifie (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Ces règles portent sur des produits ou des quotients : elles ne transforment pas une somme en une seule puissance. Par exemple 2³ + 2² vaut 12, et non 2⁵. Pour des bases différentes, on peut utiliser aⁿbⁿ = (ab)ⁿ lorsque toutes les expressions considérées sont définies.

Pour a ≥ 0, √a est le nombre positif ou nul dont le carré vaut a. Pour a < 0, √a n’est pas définie dans ℝ. Si a et b sont positifs ou nuls, √a × √b = √(ab). En effet, le produit √a × √b est positif ou nul et son carré vaut ab ; il est donc, par définition, la racine carrée de ab. Cette justification utilise à la fois le carré du produit et son signe : plusieurs nombres peuvent avoir le même carré, mais une racine carrée doit rester positive ou nulle.

On peut ainsi simplifier √18 = √(9 × 2) = 3√2. Lorsque b > 0, on a également √(a/b) = √a/√b pour a ≥ 0. En revanche, une racine ne se distribue pas sur une somme : √(9 + 16) = 5, alors que √9 + √16 = 7. Enfin √(a²) = |a| pour tout réel a, car le carré efface le signe et la racine retient la longueur positive ou nulle. Ainsi √((−6)²) = 6.

Une valeur exacte comme 2√2 reste préférable à un arrondi lorsque la question demande un résultat exact. Pour additionner des racines, on commence par simplifier celles qui contiennent des facteurs carrés. Par exemple √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2. On additionne alors des multiples du même nombre. Il ne s’agit pas d’une nouvelle règle sur les racines, mais de la distributivité que tu utilises déjà avec des lettres.

Développer consiste à transformer un produit en somme, en appliquant la distributivité. Par exemple (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Réduire consiste ensuite à regrouper les termes semblables. Les termes 3x² et 5x² donnent 8x², mais 3x² et 5x ne se regroupent pas en un seul terme. Le carré d’une somme contient quatre produits avant réduction : (a + b)² = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b².

Les trois identités remarquables usuelles sont (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² et (a − b)(a + b) = a² − b². Elles se lisent dans les deux sens. De gauche à droite, elles développent ; de droite à gauche, elles factorisent. Pour reconnaître un carré dans une somme de trois termes, il faut vérifier le terme central. La présence de deux carrés ne suffit pas : x² + 9 n’est pas égal à (x + 3)².

Factoriser consiste à réécrire une somme comme un produit. On cherche d’abord un facteur commun : 6x² − 9x = 3x(2x − 3). Il peut aussi s’agir d’une parenthèse entière. L’expression (x + 2)(3x − 1) + 4(x + 2) devient (x + 2)(3x + 3). Pour vérifier, on redéveloppe et on compare terme à terme. Un essai numérique peut repérer une erreur, mais ne prouve pas l’égalité de deux expressions pour toutes les valeurs de x.

Une expression fractionnaire n’existe que si son dénominateur est non nul. Pour additionner deux fractions, on utilise un dénominateur commun. Par exemple, si x ≠ 0, 1/x + 2/3 = (3 + 2x)/(3x). On ne peut pas additionner les numérateurs et les dénominateurs séparément. Pour simplifier un quotient, on simplifie des facteurs communs non nuls et non des termes d’une somme. Le quotient (2x + 4)/(x + 2), défini pour x ≠ −2, se simplifie en 2 sur ce domaine seulement.

Une transformation peut rendre une expression plus simple sans élargir les valeurs initialement autorisées. À x = −2, le quotient précédent reste interdit, même si le nombre 2 existe. On garde donc la restriction à côté du résultat. Cette précaution deviendra indispensable dans les équations quotients. Elle distingue une identité valable sur un domaine précisé d’une manipulation qui oublierait les divisions par zéro.

Isoler une variable signifie réécrire une relation pour exprimer cette variable en fonction des autres. Dans U = RI, si R ≠ 0, on divise les deux membres par R et on obtient I = U/R. Dans S = πr² avec r ≥ 0, on obtient r = √(S/π) pour une aire S ≥ 0. Le choix de la racine positive vient du fait que r représente une longueur. Une formule doit être lue avec ses conditions et ses unités, pas seulement comme un déplacement de symboles.

Un contrôle en Python peut comparer les valeurs de deux expressions pour plusieurs nombres choisis. On utilise une boucle for et on teste aussi des valeurs négatives, zéro et des fractions lorsque le domaine les autorise. Si une différence apparaît, l’identité est réfutée. Si aucune différence n’apparaît, on conserve seulement une conjecture : un nombre fini d’essais ne remplace pas la démonstration algébrique. Les calculs approchés de l’ordinateur imposent en outre de distinguer une très petite différence numérique d’une égalité exacte.