Divisibilité et fractions irréductibles

L’ensemble ℕ contient 0, 1, 2 et tous les entiers naturels suivants. L’ensemble ℤ contient aussi leurs opposés : −1, −2, −3, et ainsi de suite. Pour des entiers a et d, avec d non nul, a est un multiple de d s’il existe un entier k tel que a = d × k. On dit alors que d divise a ou que d est un diviseur de a. Les deux mots décrivent la même relation dans des sens différents. Ainsi 42 est multiple de 7 parce que 42 = 7 × 6 ; 7 est un diviseur de 42.

Le multiplicateur doit être entier. Écrire 42 = 8 × 5,25 ne prouve pas que 42 est multiple de 8, car 5,25 n’est pas un entier. Les signes ne détruisent pas la relation : −42 = 7 × (−6), donc −42 est aussi multiple de 7. Zéro est multiple de tout entier non nul puisque 0 = d × 0. Dans un problème concret de paquets, on travaille souvent avec des entiers naturels positifs ; il faut annoncer cette restriction au lieu de l’appliquer silencieusement à tous les problèmes d’entiers.

Les critères usuels fournissent des automatismes : un entier naturel est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair, par 5 s’il se termine par 0 ou 5, par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Ces critères servent à calculer, mais une démonstration peut revenir à la définition. Pour prouver qu’un nombre est multiple de 7, cherche à l’écrire 7 fois un entier. Pour réfuter une affirmation générale, un seul contre-exemple suffit ; pour l’établir, vérifier plusieurs nombres ne suffit pas, même si tous les essais réussissent.

Démontrons que la somme de deux multiples de 7 est multiple de 7. Écrivons ces nombres 7k et 7ℓ, avec k et ℓ entiers. Leur somme vaut 7k + 7ℓ = 7(k + ℓ). Comme k + ℓ est entier, cette écriture répond exactement à la définition d’un multiple de 7. Les lettres représentent tous les cas autorisés : ce raisonnement est plus général que l’addition 14 + 21. Il explique aussi pourquoi la propriété fonctionne. Le même principe permet de traiter une différence, car la différence de deux entiers reste entière.

Un entier pair s’écrit 2k avec k entier. Un entier impair s’écrit 2k + 1 avec k entier. Ces définitions valent aussi pour les entiers négatifs : −5 = 2 × (−3) + 1 est impair. Zéro est pair puisque 0 = 2 × 0. La parité permet d’étudier une propriété sans connaître la valeur exacte du nombre. Pour chaque calcul, commence donc par traduire pair ou impair avec une lettre entière. La seule apparence d’une écriture ne suffit pas : il faut pouvoir identifier le facteur ou l’entier qui intervient dans la définition.

Démontrons que le carré d’un impair est impair. Soit n = 2k + 1 avec k entier. Alors n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1. Le nombre 2k² + 2k est entier, donc n² possède la forme 2K + 1 d’un impair. La démonstration ne dépend ni du signe ni de la valeur de k. Le dessin suivant montre seulement le cas 5² : il aide à voir une idée de regroupement, tandis que le calcul littéral établit le résultat pour tous les entiers impairs.

Une fraction a/b, avec a entier et b entier non nul, représente un quotient. Multiplier ou diviser son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul conserve ce quotient. Pour simplifier une fraction d’entiers, on divise les deux termes par un diviseur commun. Une fraction est irréductible lorsque numérateur et dénominateur n’ont aucun diviseur commun positif supérieur à 1. Il ne suffit donc pas que les deux nombres soient petits ou impairs. Par exemple, 15 et 21 sont impairs mais ont encore 3 pour diviseur commun.

On peut chercher le plus grand diviseur commun, appelé PGCD, pour simplifier en une seule étape, ou retirer successivement des facteurs communs. Le résultat doit être contrôlé par un produit en croix et par l’absence de facteur commun restant. Une décomposition en facteurs premiers est un outil de vérification : un nombre premier est un entier naturel supérieur à 1 ayant exactement deux diviseurs positifs, 1 et lui-même. Ce rappel du collège aide à repérer les facteurs communs ; le but ici reste d’expliquer la simplification et de présenter le quotient sous forme irréductible.

En Python, pour des entiers n et d avec d strictement positif, n % d donne le reste de la division euclidienne. Le test n % d == 0 indique donc si n est multiple de d. Le double signe égal compare deux valeurs ; il n’est pas une affectation. Avant de faire le calcul, il faut traiter le cas d = 0 pour éviter une division interdite. Pour vérifier un algorithme, choisis des cas différents : un multiple, un non-multiple, zéro et un entier négatif. Ces essais contrôlent le programme, tandis que l’interprétation du reste explique sa logique.

Pour trouver le plus grand multiple d’un entier naturel a strictement positif qui soit inférieur ou égal à un entier naturel b, on calcule q = b // a puis a × q. La division entière fournit le quotient de b par a. Le résultat ne dépasse pas b ; le multiple suivant a × (q + 1) le dépasse. Avec a = 8 et b = 156, on retrouve 152. Ces deux inégalités justifient le mot plus grand. Si b est plus petit que a, le résultat est 0 : ce cas mérite d’être essayé au lieu de supposer que le programme cherche seulement des multiples positifs.