Utiliser un arbre ou un tableau à double entrée

Ce qu'il faut comprendre

En probabilités, on a souvent besoin de décrire toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire. Quand l'expérience se déroule en plusieurs étapes (par exemple, lancer un dé puis tirer une carte), il peut y avoir beaucoup de résultats. Pour ne rien oublier et pour calculer des probabilités facilement, on utilise deux outils très pratiques : l'arbre et le tableau à double entrée. Ils permettent de visualiser clairement l'univers (l'ensemble de toutes les issues) et de compter les cas favorables.

Les notions essentielles

• Univers : ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire. On le note souvent Ω.
• Issue : un résultat possible de l'expérience. Par exemple, pour un dé à 6 faces, les issues sont 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• Événement : un sous-ensemble de l'univers. Par exemple, « obtenir un nombre pair » est un événement.
• Équiprobabilité : situation où toutes les issues ont la même probabilité. Dans ce cas, la probabilité d'un événement A est : P(A) = (nombre d'issues favorables à A) / (nombre total d'issues).
• Contraire d'un événement A : noté \bar{A}, c'est l'ensemble des issues qui ne sont pas dans A. On a P(\bar{A}) = 1 - P(A).
• Arbre : diagramme en branches qui représente les étapes successives d'une expérience. Chaque chemin de la racine à une feuille correspond à une issue.
• Tableau à double entrée : tableau qui croise les résultats de deux étapes (ou deux caractères). Chaque case correspond à une issue.

Méthode

Pour construire un arbre :

1. Identifie les étapes de l'expérience (par exemple, tirage 1 puis tirage 2).
2. À chaque étape, dessine autant de branches qu'il y a de résultats possibles.
3. Écris au bout de chaque branche le résultat (issue partielle).
4. Au bout de toutes les branches, tu obtiens toutes les issues de l'univers.
5. Si l'expérience est équiprobable, chaque issue a la même probabilité : 1 / (nombre total d'issues).

Pour construire un tableau à double entrée :

1. Mets les résultats de la première étape en lignes (ou colonnes).
2. Mets les résultats de la deuxième étape en colonnes (ou lignes).
3. Chaque case du tableau correspond à une issue (combinaison d'un résultat de la première étape et d'un résultat de la deuxième).
4. Compte le nombre total de cases : c'est le nombre d'issues.

Pour calculer une probabilité :

• Si équiprobabilité : P(A) = (nombre d'issues favorables) / (nombre total d'issues).
• Pour le contraire : P(\bar{A}) = 1 - P(A).

Exemple corrigé

Énoncé : On lance un dé équilibré à 6 faces, puis on tire une carte d'un jeu de 32 cartes (8 cartes par couleur : cœur, carreau, trèfle, pique). On s'intéresse à la couleur de la carte (cœur, carreau, trèfle, pique).

1. Construis un arbre représentant cette expérience.
2. Combien y a-t-il d'issues dans l'univers ?
3. Quelle est la probabilité d'obtenir un 3 sur le dé et un cœur ?
4. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair sur le dé ?
5. Quelle est la probabilité de ne pas obtenir un cœur ?

Correction :

1. Arbre :

   • Première étape : lancer du dé → 6 branches (1,2,3,4,5,6).
   • Pour chaque résultat du dé, deuxième étape : tirage d'une carte → 4 branches (cœur, carreau, trèfle, pique).
   • Au total, 6×4 = 24 branches terminales (issues).

2. Nombre d'issues : 6 (dé) × 4 (couleur) = 24 issues. L'univers contient 24 issues équiprobables.

3. Probabilité d'obtenir un 3 et un cœur :

   • Il y a une seule issue favorable : (3, cœur).
   • P = 1/24.

4. Probabilité d'obtenir un nombre pair sur le dé :

   • Nombres pairs sur le dé : 2, 4, 6 → 3 possibilités.
   • Pour chaque nombre pair, il y a 4 couleurs possibles → 3×4 = 12 issues favorables.
   • P = 12/24 = 1/2.

5. Probabilité de ne pas obtenir un cœur :

   • Contraire de « obtenir un cœur ».
   • Nombre d'issues avec cœur : 6 (dé) × 1 (cœur) = 6.
   • P(cœur) = 6/24 = 1/4.
   • Donc P(pas cœur) = 1 - 1/4 = 3/4.

Erreurs fréquentes

• Oublier des branches : quand l'expérience a plusieurs étapes, vérifie que tu as bien toutes les combinaisons. Un arbre bien construit t'aide à ne rien oublier.
• Confondre nombre d'issues et probabilité : le nombre d'issues favorables n'est pas la probabilité ; il faut diviser par le nombre total d'issues.
• Mal utiliser le tableau : assure-toi que chaque case correspond à une combinaison unique. Par exemple, si tu as deux dés, ne mets pas les résultats dans le désordre.
• Oublier l'équiprobabilité : la formule P = (cas favorables)/(cas possibles) ne marche que si toutes les issues sont équiprobables. Si ce n'est pas le cas, il faut pondérer.
• Confondre événement et issue : une issue est un résultat unique, un événement peut en contenir plusieurs.

À retenir

• L'arbre et le tableau à double entrée sont des outils pour lister toutes les issues d'une expérience aléatoire.
• Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement est : (nombre d'issues favorables) / (nombre total d'issues).
• Le contraire d'un événement A a pour probabilité 1 - P(A).
• Construis toujours soigneusement l'arbre ou le tableau pour éviter les erreurs de comptage.

Pour s'entraîner

Tu veux vérifier que tu as bien compris ? Rends-toi sur AlloSeconde pour faire des exercices interactifs et des quiz sur l'utilisation des arbres et des tableaux à double entrée. Tu trouveras aussi des fiches de révision pour t'aider.