Traduire un problème par une expression littérale

Ce qu'il faut comprendre

Quand tu lis un énoncé de problème, il y a souvent des phrases qui décrivent une situation concrète : des prix, des distances, des âges, etc. Pour résoudre ce problème, tu dois d'abord le transformer en langage mathématique : c'est ce qu'on appelle traduire par une expression littérale. Une expression littérale, c'est une expression qui contient des lettres (comme x, y, etc.) représentant des nombres inconnus. Par exemple, si on te dit : « Paul a 5 ans de plus que Marie », tu peux écrire : si Marie a x ans, alors Paul a x + 5 ans. Cette expression x + 5 est une expression littérale.

Cette étape est cruciale car elle te permet de modéliser le problème, c'est-à-dire de le représenter avec des équations ou inéquations que tu sais résoudre. En seconde, tu vas souvent utiliser le calcul littéral (développer, factoriser, identités remarquables) pour simplifier ces expressions et trouver la solution.

Les notions essentielles

Expression littérale : expression mathématique contenant des lettres (variables) et des opérations. Exemple : 3x + 2.
Variable : lettre qui représente un nombre inconnu ou qui peut varier. On utilise souvent x, y, t, etc.
Modélisation : traduire un problème concret en langage mathématique (expressions, équations, inéquations).
Équation : égalité entre deux expressions littérales, qui n'est vraie que pour certaines valeurs de la variable. Exemple : 2x + 3 = 7.
Inéquation : inégalité entre deux expressions littérales. Exemple : 3x - 1 > 5.
Identités remarquables : formules de développement/factorisation à connaître :
- (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
- (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
- (a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Méthode

Pour traduire un problème par une expression littérale, suis ces étapes :

Lire attentivement l'énoncé et repérer ce qu'on cherche (l'inconnue).
Choisir une variable (souvent x) pour représenter cette inconnue.
Traduire les phrases en expressions littérales en utilisant les opérations :
- « de plus » → addition
- « de moins » → soustraction
- « fois », « le double », « le triple » → multiplication
- « la moitié », « le quart » → division
- « est égal à » → =
- « est supérieur à » → >
- « est inférieur à » → <
Écrire l'équation ou l'inéquation qui correspond au problème.
Résoudre l'équation ou l'inéquation en utilisant le calcul littéral (développer, factoriser, identités remarquables si nécessaire).
Vérifier que la solution a du sens dans le contexte du problème.

Exemple corrigé

Problème : Un rectangle a une longueur de 5 cm de plus que sa largeur. Son périmètre est de 34 cm. Quelles sont les dimensions du rectangle ?

Correction :

On cherche la largeur et la longueur. On note x la largeur (en cm).
La longueur est 5 cm de plus que la largeur, donc longueur = x + 5.
Le périmètre d'un rectangle est : 2 × (longueur + largeur). Donc : 2 × ((x + 5) + x) = 34.
On simplifie : 2 × (2x + 5) = 34.
On développe : 4x + 10 = 34.
On résout : 4x = 34 - 10 = 24, donc x = 24 / 4 = 6.
La largeur est 6 cm, la longueur est 6 + 5 = 11 cm.
Vérification : périmètre = 2 × (11 + 6) = 2 × 17 = 34 cm. C'est correct.

Autre exemple avec une inéquation :

Problème : Un magasin vend des T-shirts à 12 € l'unité. Pour un achat de plus de 10 T-shirts, une réduction de 30 € est appliquée sur le total. Combien de T-shirts faut-il acheter pour que le prix total soit inférieur à 150 € ?

Correction :

Soit x le nombre de T-shirts achetés.
Si x > 10, le prix total est : 12x - 30.
On veut 12x - 30 < 150.
On résout : 12x < 180, donc x < 15.
Comme x > 10 et x entier, les solutions sont x = 11, 12, 13, 14.
Vérification : pour x=11, prix = 12×11 - 30 = 132 - 30 = 102 € (<150).

Erreurs fréquentes

Confondre « de plus » et « fois plus » : « 5 de plus que x » c'est x+5, pas 5x.
Oublier les parenthèses : dans l'exemple du rectangle, si tu écris 2 × x + 5 + x, c'est faux. Il faut 2 × (x + 5 + x).
Ne pas définir la variable : toujours dire ce que représente x.
Se tromper dans les signes : attention aux inéquations quand on multiplie ou divise par un nombre négatif (mais en seconde, on évite souvent).
Oublier de vérifier : la solution doit être cohérente (par exemple, une longueur ne peut pas être négative).

À retenir

Traduire un problème, c'est passer du français aux maths : une phrase devient une expression avec des lettres.
Choisis toujours une variable pour l'inconnue.
Utilise les opérations de base (+, -, ×, ÷) et les identités remarquables si besoin.
Écris une équation ou inéquation, puis résous-la.
Vérifie que ta réponse a du sens.

Pour s'entraîner

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