Tableau de variations d'une fonction

Ce qu'il faut comprendre

Le tableau de variations est un outil visuel qui résume en un clin d'œil comment une fonction évolue : quand elle monte (croît), quand elle descend (décroît), et où elle atteint ses valeurs extrêmes (minimum ou maximum). C'est un peu comme le profil d'une randonnée : on voit les montées, les descentes et les sommets. En Seconde, tu vas apprendre à construire ce tableau pour les fonctions de référence (affine, carré, inverse) et à l'interpréter.

Les notions essentielles

Variations d'une fonction

Une fonction croissante sur un intervalle signifie que quand x augmente, f(x) augmente aussi.
Une fonction décroissante sur un intervalle signifie que quand x augmente, f(x) diminue.
Une fonction constante sur un intervalle signifie que f(x) ne change pas.

Tableau de variations

C'est un tableau à deux lignes :

Première ligne : les valeurs de x (souvent avec les bornes de l'intervalle d'étude).
Deuxième ligne : les variations de f(x) représentées par des flèches :
- Flèche vers le haut : la fonction croît.
- Flèche vers le bas : la fonction décroît.
- On note aussi les valeurs de f(x) aux extrémités et aux points où la variation change.

Fonctions de référence

Fonction affine : f(x) = ax + b

Coefficient directeur a : il indique la pente.
- Si a > 0 : la fonction est croissante sur ℝ.
- Si a < 0 : la fonction est décroissante sur ℝ.
- Si a = 0 : la fonction est constante.
Ordonnée à l'origine b : c'est la valeur de f(0).

Fonction carré : f(x) = x²

Définie sur ℝ.
Décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.
Minimum : 0 atteint en x = 0.

Fonction inverse : f(x) = 1/x

Définie sur ℝ{0} (tous les réels sauf 0).
Décroissante sur ]-∞ ; 0[ et décroissante sur ]0 ; +∞[.
Pas de maximum ni minimum, mais des asymptotes (hors programme, on ne détaille pas).

Méthode

Pour dresser le tableau de variations d'une fonction :

Déterminer l'ensemble de définition (où la fonction existe).
Étudier le signe de la dérivée ? Non ! En Seconde, on utilise les propriétés des fonctions de référence ou la forme de la fonction (par exemple, pour une fonction affine, on regarde le coefficient directeur).
Identifier les intervalles où la fonction change de sens (par exemple, pour la fonction carré, le changement se fait en 0).
Calculer les valeurs aux bornes et aux points de changement.
Tracer le tableau : première ligne les x, deuxième ligne les flèches et les valeurs.

Exemple corrigé

Énoncé : Dresser le tableau de variations de la fonction f(x) = -2x + 3 sur ℝ.

Correction :

C'est une fonction affine avec a = -2 (négatif) et b = 3.
Puisque a < 0, la fonction est décroissante sur ℝ.
Calculons f aux extrémités (mais ℝ n'a pas de bornes, on peut juste indiquer les limites à l'infini, mais en Seconde on se contente de dire qu'elle est décroissante).
Tableau :

| x | -∞ | +∞ | |---|----|----| | f(x) | +∞ (tendance) | -∞ (tendance) | | variations | flèche vers le bas |

Mais pour être plus précis, on peut choisir deux valeurs : par exemple, f(0)=3 et f(1)=1. On voit que f(0) > f(1), donc décroissance.

Autre exemple : f(x) = x² sur ℝ.

Fonction carré.
Décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.
Minimum : f(0)=0.
Tableau :

| x | -∞ | 0 | +∞ | |---|----|----|----| | f(x) | +∞ | 0 | +∞ | | variations | flèche bas | flèche haut |

Erreurs fréquentes

Confondre croissance et signe : une fonction croissante peut être négative (exemple : f(x)=x-10 sur [0;5] est croissante mais négative).
Oublier l'ensemble de définition : pour la fonction inverse, ne pas oublier que 0 est exclu.
Mal placer les flèches : une flèche va toujours de gauche à droite, et elle monte ou descend selon la variation.
Croire que la fonction carré est toujours croissante : non, elle décroît d'abord.

À retenir

Le tableau de variations résume le sens de variation d'une fonction.
Pour une fonction affine : regarde le coefficient directeur a.
Pour la fonction carré : décroissante puis croissante, minimum en 0.
Pour la fonction inverse : décroissante sur chaque intervalle, jamais nulle.
Toujours préciser l'intervalle d'étude.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu trouveras des fiches pour t'aider à maîtriser les tableaux de variations des fonctions de référence. Bon courage !