Réunion et intersection d'événements simples

Ce qu'il faut comprendre

En probabilités, on étudie des expériences aléatoires (lancer un dé, tirer une carte, etc.). Chaque résultat possible s'appelle une issue. L'ensemble de toutes les issues possibles, c'est l'univers, souvent noté Ω.

Un événement est un ensemble d'issues. Par exemple, pour un dé à 6 faces, l'événement A = « obtenir un nombre pair » correspond aux issues {2;4;6}.

Quand on combine deux événements, on peut s'intéresser à leur réunion (au moins l'un des deux se réalise) ou à leur intersection (les deux se réalisent en même temps). Ces notions sont très utiles pour calculer des probabilités.

Les notions essentielles

Univers et événements

• Univers Ω : ensemble de toutes les issues possibles.
• Événement : sous-ensemble de Ω.
• Événement élémentaire : événement qui ne contient qu'une seule issue.
• Événement certain : événement égal à Ω (se réalise toujours).
• Événement impossible : événement vide ∅ (ne se réalise jamais).

Équiprobabilité

Quand toutes les issues ont la même chance de se produire, on dit qu'il y a équiprobabilité. Dans ce cas, la probabilité d'un événement A est :

$$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à A}}{\text{nombre total d'issues}}$$

Réunion et intersection

• Intersection de deux événements A et B, notée A ∩ B : ensemble des issues qui appartiennent à la fois à A et à B. On lit « A inter B ».
• Réunion de deux événements A et B, notée A ∪ B : ensemble des issues qui appartiennent à A ou à B (ou aux deux). On lit « A union B ».

Événement contraire

L'événement contraire de A, noté \overline{A} (ou non A), est l'ensemble des issues de Ω qui ne sont pas dans A.

Arbre

Un arbre de probabilités permet de visualiser les issues d'une expérience à plusieurs étapes. Chaque branche représente une issue, et on peut y inscrire les probabilités.

Propriétés

• P(Ω) = 1, P(∅) = 0.
• P(\overline{A}) = 1 – P(A).
• Pour deux événements A et B : $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ (formule valable même sans équiprobabilité).
• Si A et B sont incompatibles (A ∩ B = ∅), alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Méthode

1. Identifier l'univers : lister toutes les issues possibles.
2. Définir les événements : écrire en extension (liste d'issues) ou en compréhension.
3. Calculer les probabilités : si équiprobabilité, utiliser la formule.
4. Pour la réunion ou l'intersection :
   • Déterminer les issues de A ∩ B (celles communes).
   • Déterminer les issues de A ∪ B (celles de A, de B, ou des deux).
   • Appliquer la formule si nécessaire.
5. Utiliser un arbre pour les expériences à plusieurs étapes (par exemple, lancer deux dés).

Exemple corrigé

Énoncé : On lance un dé équilibré à 6 faces. Soit A : « obtenir un nombre pair », B : « obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 ».

1. Décrire l'univers.
2. Écrire A et B en extension.
3. Calculer P(A), P(B), P(A ∩ B), P(A ∪ B).

Correction :

1. Univers Ω = {1;2;3;4;5;6}.
2. A = {2;4;6}, B = {4;5;6}.
3. Il y a équiprobabilité (dé équilibré).
   • P(A) = 3/6 = 1/2.
   • P(B) = 3/6 = 1/2.
   • A ∩ B = {4;6} (issues communes) → P(A ∩ B) = 2/6 = 1/3.
   • A ∪ B = {2;4;5;6} (issues de A ou de B) → P(A ∪ B) = 4/6 = 2/3.
   • Vérification avec la formule : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 1/2 + 1/2 – 1/3 = 1 – 1/3 = 2/3. C'est correct.

Erreurs fréquentes

• Confondre réunion et intersection : la réunion contient toutes les issues, l'intersection seulement les communes.
• Oublier de soustraire l'intersection dans la formule P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B). Si on ne soustrait pas, on compte deux fois les issues communes.
• Croire que P(A ∪ B) = P(A) + P(B) toujours : ce n'est vrai que si A et B sont incompatibles.
• Mal utiliser l'arbre : ne pas oublier que la somme des probabilités sur les branches issues d'un même nœud doit être 1.
• Confondre événement contraire et événement complémentaire : c'est la même chose, mais attention à ne pas écrire « contraire » pour « inverse ».

À retenir

• L'univers Ω est l'ensemble de toutes les issues.
• Un événement est un sous-ensemble de Ω.
• En situation d'équiprobabilité, P(A) = (nombre d'issues favorables) / (nombre total d'issues).
• A ∩ B : issues communes ; A ∪ B : issues de A ou B.
• Formule : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).
• P(\overline{A}) = 1 – P(A).
• Un arbre aide à visualiser les probabilités dans des expériences successives.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris le cours, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu trouveras des fiches pour t'aider à maîtriser la réunion et l'intersection d'événements simples. Bon courage !