Résoudre une équation du premier degré

Ce qu'il faut comprendre

Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de l'inconnue (souvent notée x) qui rend l'égalité vraie. Par exemple, dans l'équation 2x + 3 = 7, on cherche le nombre x tel que 2 fois ce nombre plus 3 donne 7. La solution est x = 2, car 2×2 + 3 = 7.

Les équations du premier degré sont les plus simples : l'inconnue n'apparaît qu'à la puissance 1 (pas de x², x³, etc.). Elles servent à modéliser des situations de la vie courante : partager des dépenses, calculer des vitesses, etc.

Les notions essentielles

Équation : égalité qui contient une ou plusieurs inconnues. Exemple : 3x – 5 = 2x + 4.
Inconnue : lettre (souvent x) dont on cherche la valeur.
Solution : valeur de l'inconnue qui vérifie l'équation. Une équation du premier degré a généralement une seule solution.
Résoudre : trouver toutes les solutions.
Équations équivalentes : deux équations qui ont exactement les mêmes solutions. On les obtient en appliquant des transformations qui ne changent pas les solutions.
Propriétés clés :
- On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres de l'équation.
- On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.
Identités remarquables : elles permettent de factoriser ou développer des expressions, ce qui peut aider à résoudre certaines équations. Les trois identités à connaître :
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a – b)² = a² – 2ab + b²
- (a + b)(a – b) = a² – b²

Méthode

Pour résoudre une équation du premier degré, suis ces étapes :

Développer si nécessaire (supprimer les parenthèses en utilisant la distributivité ou les identités remarquables).
Réduire chaque membre : regrouper les termes en x et les constantes.
Transposer : amener tous les termes contenant x dans un membre, et les constantes dans l'autre. Attention : quand on change un terme de membre, on change son signe.
Réduire à nouveau : simplifier chaque membre.
Diviser par le coefficient de x (le nombre qui multiplie x) pour obtenir x = ...
Vérifier : remplacer x par la valeur trouvée dans l'équation initiale pour s'assurer que l'égalité est vraie.

Si l'équation contient des fractions, on peut multiplier tous les termes par le dénominateur commun pour les éliminer.

Exemple corrigé

Résous l'équation : 3(x – 2) + 4 = 2x + 5

Étape 1 : Développer 3(x – 2) + 4 = 3x – 6 + 4 = 3x – 2 Donc l'équation devient : 3x – 2 = 2x + 5

Étape 2 : Transposer On veut les x à gauche, les constantes à droite. 3x – 2 – 2x = 2x + 5 – 2x → x – 2 = 5 Puis on ajoute 2 des deux côtés : x – 2 + 2 = 5 + 2 → x = 7

Étape 3 : Vérification Pour x = 7 : 3(7 – 2) + 4 = 3×5 + 4 = 15 + 4 = 19 ; 2×7 + 5 = 14 + 5 = 19. L'égalité est vérifiée.

Solution : x = 7.

Erreurs fréquentes

Oublier de changer le signe quand on transpose un terme. Par exemple, dans 2x + 3 = 5x – 1, si on veut passer 5x à gauche, on écrit 2x – 5x + 3 = –1 (et non 2x + 5x).
Diviser par zéro : on ne peut jamais diviser par 0. Si le coefficient de x est 0, l'équation n'a pas de solution ou est toujours vraie (selon le cas).
Mal appliquer la distributivité : 3(x – 2) = 3x – 6, pas 3x – 2.
Confondre les identités remarquables : (a + b)² = a² + 2ab + b², pas a² + b².
Oublier de vérifier : une erreur de calcul peut passer inaperçue.

À retenir

Une équation du premier degré se résout en isolant x par des opérations élémentaires.
Les transformations autorisées : ajouter/soustraire un même nombre, multiplier/diviser par un même nombre non nul.
Toujours vérifier la solution dans l'équation de départ.
Les identités remarquables sont des outils pour développer ou factoriser, utiles dans la résolution.

Pour s'entraîner

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