Résoudre graphiquement une inéquation f(x) supérieure à k

Ce qu'il faut comprendre

Quand on te donne une fonction f et un nombre k, résoudre l'inéquation f(x) > k, c'est trouver tous les nombres x pour lesquels l'image f(x) est strictement supérieure à k. Graphiquement, cela revient à repérer sur la courbe de f les points qui sont au-dessus de la droite horizontale y = k.

Par exemple, si f(x) représente la température dans une ville au cours de la journée, et k = 20°C, alors résoudre f(x) > 20 te donne les heures où il fait plus de 20°C.

Les notions essentielles

Fonction f : elle associe à chaque nombre x un unique nombre f(x), appelé image de x.
Courbe représentative : ensemble des points (x ; f(x)).
Inéquation f(x) > k : on cherche les x tels que f(x) soit strictement supérieur à k.
Résolution graphique : on lit les solutions directement sur le graphique, sans calcul.
Ensemble solution : on écrit les x sous forme d'intervalle(s) ou de réunion d'intervalles.

Attention : Ne confonds pas avec l'équation f(x) = k (qui donne les points d'intersection avec la droite y = k). Ici, on cherche les x où la courbe est au-dessus de la droite.

Méthode

Pour résoudre graphiquement f(x) > k :

Trace la courbe de f (si elle n'est pas déjà donnée).
Trace la droite horizontale d'équation y = k.
Repère les points d'intersection entre la courbe et la droite : leurs abscisses sont les solutions de f(x) = k.
Observe les parties de la courbe qui sont strictement au-dessus de la droite.
Lis les abscisses correspondantes : ce sont les x pour lesquels f(x) > k.
Écris l'ensemble solution sous forme d'intervalle(s). Si la courbe est au-dessus sur plusieurs intervalles, tu les relies par le symbole ∪ (union).

Important : Si l'inéquation est f(x) ≥ k, tu inclus aussi les abscisses des points d'intersection (car f(x) = k est autorisé). Pour f(x) > k, tu exclus ces abscisses (crochets ouverts).

Exemple corrigé

Soit f la fonction définie sur [-2 ; 4] dont la courbe est donnée ci-dessous (imagine une courbe qui monte et descend). Résous graphiquement f(x) > 1.

Étape 1 : Trace la droite horizontale y = 1.

Étape 2 : La courbe coupe la droite en deux points : d'abscisses x = -1 et x = 3.

Étape 3 : Regarde où la courbe est au-dessus de la droite :

Entre x = -1 et x = 3, la courbe est au-dessus (sauf aux extrémités où elle est sur la droite).
Avant x = -1 et après x = 3, la courbe est en dessous.

Étape 4 : Comme on veut f(x) > 1 (strict), on prend les x entre -1 et 3, mais sans inclure -1 et 3.

Solution : ]-1 ; 3[

Si l'inéquation avait été f(x) ≥ 1, la solution aurait été [-1 ; 3] (crochets fermés).

Erreurs fréquentes

Confondre f(x) > k et f(x) < k : Vérifie bien le sens de l'inégalité. "Au-dessus" correspond à f(x) > k, "en dessous" à f(x) < k.
Oublier les crochets : Pour une inégalité stricte (> ou <), les crochets sont ouverts (exclus). Pour une inégalité large (≥ ou ≤), ils sont fermés (inclus).
Ne pas lire les bonnes abscisses : Les solutions sont les x, pas les f(x). Lis sur l'axe horizontal.
Mal interpréter la courbe : Si la courbe est discontinue ou a des trous, fais attention aux valeurs interdites (mais en Seconde, on travaille surtout sur des fonctions continues).

À retenir

Résoudre f(x) > k graphiquement = trouver les x où la courbe est au-dessus de la droite y = k.
Les points d'intersection donnent les bornes des intervalles.
Inégalité stricte → crochets ouverts ; inégalité large → crochets fermés.
L'ensemble solution s'écrit avec des intervalles et le symbole ∪ si nécessaire.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris la méthode, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu peux aussi consulter la fiche "Résoudre graphiquement une équation f(x) = k" pour consolider les bases. Bon courage !