Résoudre graphiquement une équation f(x) égale k

Ce qu'il faut comprendre

Quand on te donne une fonction f, tu peux la représenter par une courbe. Résoudre l'équation f(x) = k, c'est trouver tous les nombres x pour lesquels l'image par f est exactement k. Graphiquement, cela revient à trouver les points de la courbe qui ont une ordonnée égale à k. Les solutions sont les abscisses de ces points.

Cette méthode est utile quand tu n'as pas de formule pour f, mais seulement sa courbe ou un tableau de valeurs. Elle te permet de répondre rapidement sans calculs compliqués.

Les notions essentielles

• Fonction f : elle associe à chaque nombre x un unique nombre f(x).
• Image : f(x) est l'image de x par f.
• Antécédent : si f(x) = k, alors x est un antécédent de k.
• Courbe représentative : ensemble des points (x ; f(x)).
• Équation graphique : résoudre f(x) = k, c'est trouver les x tels que le point (x ; f(x)) a pour ordonnée k.
• Tableau de valeurs : donne quelques couples (x ; f(x)). Il peut aider à repérer des solutions approchées.

Propriété : Les solutions de f(x) = k sont les abscisses des points d'intersection de la courbe de f avec la droite horizontale d'équation y = k.

Méthode

1. Trace la courbe de f (si elle n'est pas déjà donnée).
2. Trace la droite horizontale y = k (parallèle à l'axe des abscisses, passant par le point (0 ; k)).
3. Repère les points d'intersection entre la courbe et la droite.
4. Lis les abscisses de ces points : ce sont les solutions de l'équation.
5. Écris les solutions sous forme d'un ensemble : S = {x1, x2, ...}.

Astuce : Si la droite ne coupe pas la courbe, l'équation n'a pas de solution. Si elle est tangente, il y a une solution unique (mais en Seconde, on considère souvent une intersection simple).

Exemple corrigé

Soit f définie par sa courbe ci-dessous (imagine une parabole qui passe par les points (-2 ; 4), (-1 ; 1), (0 ; 0), (1 ; 1), (2 ; 4)). Résous graphiquement f(x) = 1.

Correction :

1. La courbe est déjà tracée.
2. Trace la droite horizontale y = 1.
3. La droite coupe la courbe en deux points : (-1 ; 1) et (1 ; 1).
4. Les abscisses sont -1 et 1.
5. Donc S = {-1 ; 1}.

Vérification : f(-1) = 1 et f(1) = 1, c'est correct.

Erreurs fréquentes

• Confondre abscisse et ordonnée : les solutions sont les x, pas les y. Ne note pas S = {1} si tu as trouvé y = 1.
• Oublier des solutions : la droite peut couper la courbe plusieurs fois. Vérifie bien tout le domaine de définition.
• Mal lire le graphique : prends une règle pour être précis. Une erreur de lecture peut donner une solution fausse.
• Croire qu'il y a toujours une solution : si la droite ne touche pas la courbe, il n'y a pas de solution.

À retenir

• Résoudre f(x) = k graphiquement : intersection de la courbe avec la droite y = k.
• Les solutions sont les abscisses des points d'intersection.
• On peut utiliser un tableau de valeurs pour vérifier.
• Pas de solution si pas d'intersection.

Pour s'entraîner

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