Résoudre graphiquement un système de deux droites

Ce qu'il faut comprendre

Tu as déjà rencontré des systèmes d'équations en classe de Troisième, par exemple pour trouver deux nombres inconnus. Ici, on va s'intéresser à un cas particulier : un système de deux équations de droites. Chaque équation représente une droite dans le plan. Résoudre le système, c'est trouver les coordonnées du point d'intersection des deux droites (s'il existe). Graphiquement, cela revient à tracer les deux droites et à lire les coordonnées de leur point de croisement.

Pourquoi c'est utile ? Par exemple, en économie, pour trouver le point d'équilibre entre l'offre et la demande ; en physique, pour déterminer le moment où deux mobiles se rencontrent. Bref, c'est un outil puissant pour modéliser des situations où deux contraintes linéaires s'appliquent en même temps.

Les notions essentielles

Équation réduite d'une droite

Une droite non verticale peut s'écrire sous la forme :

y = mx + p

• m est la pente (ou coefficient directeur). Elle indique l'inclinaison de la droite : si m > 0, la droite monte ; si m < 0, elle descend ; si m = 0, la droite est horizontale.
• p est l'ordonnée à l'origine : c'est la valeur de y quand x = 0, donc le point où la droite coupe l'axe des ordonnées.

Système de deux droites

Un système de deux équations de droites s'écrit :

{ y = m1 x + p1
{ y = m2 x + p2

Résoudre ce système, c'est trouver le couple (x ; y) qui vérifie les deux équations en même temps. Graphiquement, ce couple correspond aux coordonnées du point d'intersection des deux droites.

Parallélisme

• Si les deux droites ont la même pente (m1 = m2) mais des ordonnées à l'origine différentes (p1 ≠ p2), alors elles sont parallèles et distinctes : elles ne se coupent jamais. Le système n'a pas de solution.
• Si elles ont la même pente et la même ordonnée à l'origine (m1 = m2 et p1 = p2), alors les droites sont confondues : elles ont tous leurs points en commun. Le système a une infinité de solutions.
• Si les pentes sont différentes (m1 ≠ m2), les droites sont sécantes : elles se coupent en un unique point. Le système a une solution unique.

Intersection

Le point d'intersection est le seul point qui appartient aux deux droites. Ses coordonnées (x ; y) vérifient les deux équations.

Méthode

Pour résoudre graphiquement un système de deux droites, suis ces étapes :

1. Tracer la première droite :

   • À partir de son équation réduite y = m1 x + p1, place l'ordonnée à l'origine p1 sur l'axe des y (point (0 ; p1)).
   • Utilise la pente m1 pour trouver un deuxième point : à partir de (0 ; p1), avance de 1 unité vers la droite et monte (ou descend) de m1 unités (si m1 est positif, monte ; si négatif, descend). Trace la droite passant par ces deux points.

2. Tracer la deuxième droite :

   • Même méthode avec y = m2 x + p2.

3. Lire les coordonnées du point d'intersection :

   • Si les droites se coupent, repère le point d'intersection. Lis son abscisse x sur l'axe horizontal et son ordonnée y sur l'axe vertical. Note le couple (x ; y).

4. Vérifier (optionnel mais conseillé) :

   • Remplace x et y dans les deux équations pour vérifier qu'elles sont bien vérifiées.

Cas particuliers :

• Si les droites sont parallèles (mêmes pentes), il n'y a pas de point d'intersection : le système n'a pas de solution.
• Si les droites sont confondues (mêmes pente et même ordonnée à l'origine), tous les points sont communs : le système a une infinité de solutions.

Exemple corrigé

Énoncé : Résous graphiquement le système suivant :

{ y = 2x + 1
{ y = -x + 4

Correction :

1. Tracer la première droite (y = 2x + 1) :

   • Ordonnée à l'origine : 1 → point A(0 ; 1).
   • Pente : 2 → à partir de A, avance de 1 à droite et monte de 2 → point B(1 ; 3).
   • Trace la droite passant par A et B.

2. Tracer la deuxième droite (y = -x + 4) :

   • Ordonnée à l'origine : 4 → point C(0 ; 4).
   • Pente : -1 → à partir de C, avance de 1 à droite et descend de 1 → point D(1 ; 3).
   • Trace la droite passant par C et D.

3. Lire l'intersection : Les deux droites se coupent au point (1 ; 3).

4. Vérification :

   • Pour y = 2x + 1 : 2×1 + 1 = 3, OK.
   • Pour y = -x + 4 : -1 + 4 = 3, OK.

Conclusion : La solution du système est le couple (1 ; 3).

Erreurs fréquentes

• Confondre pente et ordonnée à l'origine : La pente est le coefficient devant x, pas le terme constant. Par exemple, dans y = 3x - 2, la pente est 3, l'ordonnée à l'origine est -2.
• Mal tracer la pente : Si la pente est négative, il faut descendre, pas monter. Par exemple, pente -2 : avance de 1 à droite, descends de 2.
• Oublier de vérifier : Une lecture graphique peut être imprécise. Vérifie toujours en remplaçant dans les équations.
• Croire que deux droites se coupent toujours : Si elles sont parallèles, pas de solution. Vérifie d'abord les pentes.
• Confondre parallélisme et perpendicularité : En Seconde, on ne voit que le parallélisme. Deux droites sont parallèles si leurs pentes sont égales.

À retenir

• Un système de deux droites se résout graphiquement en traçant les droites et en lisant leur point d'intersection.
• Si les pentes sont différentes → une solution unique.
• Si les pentes sont égales et les ordonnées à l'origine différentes → pas de solution.
• Si les pentes et ordonnées à l'origine sont égales → infinité de solutions.
• La pente m se lit dans l'équation y = mx + p.
• Vérifie toujours ta solution dans les deux équations.

Pour s'entraîner

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