Représenter graphiquement une fonction affine

Ce qu'il faut comprendre

Tu as déjà vu des fonctions affines en classe de troisième. En seconde, on approfondit : on apprend à les représenter graphiquement de manière systématique, et on découvre comment leur coefficient directeur et leur ordonnée à l'origine influencent la forme de la droite. Savoir tracer une droite à partir de son équation est essentiel pour résoudre des problèmes concrets (modélisation de situations linéaires) et pour comparer des fonctions. Cela te servira aussi pour étudier les variations des fonctions carré et inverse.

Les notions essentielles

Définition d'une fonction affine

Une fonction affine est une fonction qui peut s'écrire sous la forme :

f(x) = ax + b

où a et b sont des nombres réels.

a est le coefficient directeur (ou pente).
b est l'ordonnée à l'origine.

Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.

Si a > 0, la droite monte (la fonction est croissante).
Si a < 0, la droite descend (la fonction est décroissante).
Si a = 0, la droite est horizontale (fonction constante).

Coefficient directeur et ordonnée à l'origine

Coefficient directeur a : il indique la pente de la droite. Quand x augmente de 1, f(x) augmente de a (si a > 0) ou diminue de |a| (si a < 0).
Ordonnée à l'origine b : c'est la valeur de f(0). Graphiquement, c'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées (axe vertical).

Variations

Une fonction affine est soit croissante (a > 0), soit décroissante (a < 0), soit constante (a = 0). Elle n'a pas de maximum ou minimum local (sauf si constante).

Fonctions carré et inverse (rappels)

Fonction carré : f(x) = x^2. Sa représentation est une parabole. Elle est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.
Fonction inverse : f(x) = 1/x. Sa représentation est une hyperbole. Elle est décroissante sur ]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.

Ces deux fonctions ne sont pas affines, mais on peut les comparer à des fonctions affines.

Méthode

Pour représenter graphiquement une fonction affine f(x) = ax + b :

Placer l'ordonnée à l'origine : le point (0 ; b) est sur la droite.
Utiliser le coefficient directeur : à partir de ce point, avance de 1 unité horizontalement (vers la droite) et monte (si a > 0) ou descend (si a < 0) de |a| unités verticalement. Tu obtiens un deuxième point.
Tracer la droite passant par ces deux points.

Variante : Tu peux aussi calculer deux points quelconques (par exemple x=0 et x=1, ou x=0 et x=2) et tracer la droite passant par ces points.

Exemple corrigé

Énoncé : Représente graphiquement la fonction affine f(x) = 2x - 1.

Correction :

Ordonnée à l'origine : b = -1. Donc le point A(0 ; -1) est sur la droite.
Coefficient directeur : a = 2. À partir de A, avance de 1 unité vers la droite (x augmente de 1) et monte de 2 unités (car a > 0). Tu obtiens le point B(1 ; 1).
Tracé : Place les points A et B dans un repère, puis trace la droite qui les relie. Prolonge-la légèrement au-delà des points.

Vérification : Pour x=2, f(2)=2*2-1=3. Le point (2;3) doit être sur la droite. Vérifie sur ton graphique.

Erreurs fréquentes

Confondre coefficient directeur et ordonnée à l'origine : Par exemple, dans f(x) = -3x + 2, a = -3 et b = 2. Ne pas inverser.
Mal interpréter le signe du coefficient directeur : Si a est négatif, la droite descend. Par exemple, f(x) = -2x + 1 : quand x augmente de 1, f(x) diminue de 2.
Oublier de prolonger la droite : Une fonction affine est définie pour tous les réels, donc la droite doit dépasser les points que tu as placés.
Placer l'ordonnée à l'origine sur l'axe des abscisses : L'ordonnée à l'origine est sur l'axe des ordonnées (vertical), pas sur l'axe des x.
Pour les fonctions carré et inverse, ne pas les confondre avec des fonctions affines : La parabole et l'hyperbole ne sont pas des droites.

À retenir

Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b.
Sa représentation est une droite.
a est le coefficient directeur (pente), b est l'ordonnée à l'origine.
Pour tracer : placer (0 ; b), puis utiliser la pente pour trouver un deuxième point.
Si a > 0, la fonction est croissante ; si a < 0, décroissante.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris le cours, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu peux aussi consulter la fiche de révision sur les fonctions affines pour consolider tes connaissances.