Ordonnée à l'origine d'une fonction affine

Ce qu'il faut comprendre

Tu as déjà rencontré des fonctions affines, par exemple f(x) = 2x + 3. Dans cette expression, le nombre 3 s'appelle l'ordonnée à l'origine. Pourquoi ce nom ? Parce que c'est la valeur de f(x) quand x = 0, c'est-à-dire quand on se trouve sur l'axe des ordonnées (l'axe vertical). Graphiquement, c'est le point où la droite représentant la fonction coupe l'axe des ordonnées.

L'ordonnée à l'origine est très utile : elle te donne une information immédiate sur la position de la droite. Avec le coefficient directeur (la pente), elle permet de tracer ou de comparer des fonctions affines facilement.

Les notions essentielles

Définition d'une fonction affine

Une fonction affine est une fonction qui peut s'écrire sous la forme :

f(x) = a x + b

• a est le coefficient directeur (il indique la pente de la droite).
• b est l'ordonnée à l'origine.

Ordonnée à l'origine

L'ordonnée à l'origine b est la valeur de f(0) :

f(0) = a × 0 + b = b

Graphiquement, c'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. Ce point a pour coordonnées (0 ; b).

Variations d'une fonction affine

• Si a > 0, la fonction est croissante : plus x augmente, plus f(x) augmente.
• Si a < 0, la fonction est décroissante : plus x augmente, plus f(x) diminue.
• Si a = 0, la fonction est constante : f(x) = b (droite horizontale).

Fonctions de référence vues en Seconde

• Fonction carré : f(x) = x^2 (ce n'est pas une fonction affine, mais tu dois la connaître).
• Fonction inverse : f(x) = 1/x (pas affine non plus).

Ces deux fonctions ne sont pas affines, mais elles sont étudiées dans le même chapitre. L'ordonnée à l'origine ne s'applique qu'aux fonctions affines.

Méthode

Déterminer l'ordonnée à l'origine à partir d'une expression

Si on te donne f(x) = ..., il suffit de repérer le terme constant (le nombre sans x).

Exemple : f(x) = -5x + 2 → ordonnée à l'origine = 2.

Déterminer l'ordonnée à l'origine à partir d'un graphique

1. Repère la droite représentant la fonction.
2. Regarde où elle coupe l'axe vertical (l'axe des ordonnées).
3. Lis la coordonnée y de ce point : c'est l'ordonnée à l'origine.

Déterminer l'ordonnée à l'origine à partir de deux points

Si tu connais deux points (x1 ; y1) et (x2 ; y2) appartenant à la droite, tu peux calculer a puis b.

1. Calcule le coefficient directeur : a = (y2 - y1) / (x2 - x1).
2. Utilise un point : b = y1 - a × x1 (ou y2 - a × x2).

Exemple corrigé

Énoncé : Soit f une fonction affine telle que f(1) = 4 et f(3) = 10. Détermine l'expression de f(x).

Correction :

1. On sait que f(x) = a x + b.
2. Calcul de a : a = (10 - 4) / (3 - 1) = 6 / 2 = 3.
3. Calcul de b : On utilise le point (1 ; 4) : 4 = 3 × 1 + b → 4 = 3 + b → b = 1. (Vérification avec l'autre point : 10 = 3 × 3 + 1 = 10, c'est bon.)
4. Donc f(x) = 3x + 1. L'ordonnée à l'origine est 1.

Graphiquement : La droite coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; 1).

Erreurs fréquentes

• Confondre ordonnée à l'origine et coefficient directeur. Rappelle-toi : b est le terme constant, a est le coefficient de x.

• Oublier le signe. Exemple : f(x) = -2x - 3 → ordonnée à l'origine = -3 (pas 3).

• Lire l'ordonnée à l'origine sur l'axe des abscisses. L'ordonnée à l'origine se lit sur l'axe des ordonnées (vertical), pas sur l'axe des x.

• Croire que l'ordonnée à l'origine est toujours positive. Elle peut être négative ou nulle.

• Pour une fonction non affine (carré, inverse), parler d'ordonnée à l'origine. Ces fonctions n'ont pas d'ordonnée à l'origine car leur courbe n'est pas une droite.

À retenir

• Une fonction affine s'écrit f(x) = a x + b.
• b est l'ordonnée à l'origine : c'est f(0) et le point (0 ; b) sur le graphique.
• Pour trouver b : lis sur le graphique ou calcule avec b = y - a x.
• Les variations dépendent du signe de a.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu maîtrises l'ordonnée à l'origine, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu trouveras des fiches pour t'aider à reconnaître a et b sur des graphiques, et à calculer l'expression d'une fonction affine à partir de deux points. Bon courage !