Notion de fonction et notation f(x)

Ce qu'il faut comprendre

Imagine que tu as une machine qui transforme un nombre en un autre nombre. Par exemple, tu entres 2, la machine le multiplie par 3 et ajoute 1, elle te donne 7. Cette machine, c'est une fonction. En maths, une fonction associe à chaque nombre d'entrée (appelé antécédent) un unique nombre de sortie (appelé image).

La notation f(x) est juste une façon de noter l'image de x par la fonction f. Par exemple, si f(x) = 3x + 1, alors f(2) = 3×2 + 1 = 7. On dit que 7 est l'image de 2 par f, et que 2 est un antécédent de 7.

Les fonctions permettent de modéliser des situations concrètes : le coût d'un trajet en fonction de la distance, la hauteur d'une balle en fonction du temps, etc.

Les notions essentielles

Définition d'une fonction

Une fonction f est un procédé qui, à tout nombre x d'un ensemble de départ (souvent noté D), associe un unique nombre noté f(x).

Vocabulaire

x : la variable (antécédent)
f(x) : l'image de x par f (on lit "f de x")
Image : résultat obtenu quand on applique la fonction à un antécédent
Antécédent : nombre de départ qui donne une image donnée

Représentations d'une fonction

Tableau de valeurs : on liste quelques antécédents et leurs images. | x | -2 | 0 | 3 | |---|----|---|---| | f(x) | 5 | 1 | -2 |
Courbe : dans un repère, on place les points de coordonnées (x ; f(x)). L'ensemble de ces points forme la courbe représentative de f.
Expression algébrique : une formule comme f(x) = 2x - 3.

Équation graphique

Résoudre graphiquement une équation du type f(x) = k (où k est un nombre) revient à trouver les antécédents de k, c'est-à-dire les abscisses des points de la courbe d'ordonnée k.

Méthode

Calculer une image

Remplace x par la valeur donnée dans l'expression de f(x).
Effectue les calculs en respectant les priorités.

Calculer un antécédent

Pose l'équation f(x) = nombre donné.
Résous l'équation pour trouver x.

Lire une image sur une courbe

Place-toi sur l'axe des abscisses à la valeur de x.
Monte ou descends verticalement jusqu'à rencontrer la courbe.
Lis l'ordonnée du point : c'est l'image.

Lire un antécédent sur une courbe

Place-toi sur l'axe des ordonnées à la valeur de l'image.
Trace une horizontale jusqu'à la courbe (il peut y avoir plusieurs points).
Pour chaque point d'intersection, lis l'abscisse : ce sont les antécédents.

Exemple corrigé

Soit f(x) = 2x² - 3.

1. Calcule l'image de 4. f(4) = 2×4² - 3 = 2×16 - 3 = 32 - 3 = 29. L'image de 4 est 29.

2. Trouve le(s) antécédent(s) de 5. On résout 2x² - 3 = 5. 2x² = 8 → x² = 4 → x = 2 ou x = -2. Les antécédents de 5 sont 2 et -2.

3. Soit la courbe de f ci-dessous (imaginée). Lis l'image de 1. Sur l'axe des abscisses, on se place à x=1. On monte jusqu'à la courbe, on lit l'ordonnée : -1. Donc f(1) = -1.

4. Lis les antécédents de 0. On trace une horizontale à y=0. Elle coupe la courbe en deux points : abscisses environ -1,2 et 1,2. Donc les antécédents de 0 sont environ -1,2 et 1,2.

Erreurs fréquentes

Confondre antécédent et image : l'antécédent est sur l'axe des x, l'image sur l'axe des y.
Oublier les parenthèses : f(x) = 2x+1, pour x=3, écrire f(3)=2×3+1=7, pas 2×3+1=7 (c'est bon ici mais attention aux expressions comme f(x)=x²+3x : f(2)=2²+3×2=4+6=10).
Mal lire un tableau de valeurs : vérifie bien la colonne correspondant à x et celle à f(x).
Croire qu'une image n'a qu'un seul antécédent : une image peut avoir plusieurs antécédents (comme dans l'exemple, 5 a deux antécédents).
Confondre courbe et tableau : la courbe donne une vision continue, le tableau des valeurs ponctuelles.

À retenir

Une fonction associe à chaque x une unique image f(x).
L'image se calcule en remplaçant x dans l'expression.
L'antécédent se trouve en résolvant f(x) = k.
Sur une courbe, l'image se lit sur l'axe des ordonnées, l'antécédent sur l'axe des abscisses.
Un même nombre peut avoir plusieurs antécédents, mais un antécédent n'a qu'une seule image.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris la notion de fonction et la notation f(x), entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu peux aussi consulter la fiche de révision pour mémoriser les points clés.