Moyenne simple et moyenne pondérée

Ce qu'il faut comprendre

Tu as sûrement déjà calculé une moyenne : tu additionnes toutes les notes et tu divises par le nombre de notes. C'est la moyenne simple. Mais parfois, certaines valeurs comptent plus que d'autres. Par exemple, si tu as un contrôle coefficient 2 et un autre coefficient 1, le premier compte double. On utilise alors la moyenne pondérée, où chaque valeur a un poids (un coefficient) différent.

En statistiques, on utilise ces moyennes pour résumer une série de données : par exemple, la note moyenne d'une classe, le temps moyen passé sur les réseaux sociaux, etc.

Les notions essentielles

Effectif et fréquence

Effectif : nombre de fois qu'une valeur apparaît. Par exemple, si 5 élèves ont 12/20, l'effectif de la note 12 est 5.
Fréquence : proportion de l'effectif par rapport à l'effectif total. Fréquence = effectif / effectif total. Elle peut être exprimée en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage.

Moyenne simple

Pour une série de valeurs (x_1, x_2, ..., x_n), la moyenne simple est : [ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} ]

Moyenne pondérée

Si chaque valeur (x_i) a un coefficient (ou poids) (p_i), la moyenne pondérée est : [ \bar{x} = \frac{p_1 \times x_1 + p_2 \times x_2 + ... + p_k \times x_k}{p_1 + p_2 + ... + p_k} ]

Médiane et quartiles

Médiane : valeur qui partage la série ordonnée en deux parties égales (50% des données en dessous, 50% au-dessus).
Quartiles : (Q_1) (25% des données en dessous), (Q_3) (75% en dessous).

Dispersion

Étendue : différence entre la plus grande et la plus petite valeur.
Écart interquartile : (Q_3 - Q_1).

Graphiques

On peut représenter les données par des diagrammes en bâtons, histogrammes, ou diagrammes en boîte (boîte à moustaches) qui montrent la médiane, les quartiles et les valeurs extrêmes.

Méthode

Calculer une moyenne simple

Additionne toutes les valeurs.
Divise par le nombre de valeurs.

Calculer une moyenne pondérée

Multiplie chaque valeur par son coefficient.
Additionne tous ces produits.
Divise par la somme des coefficients.

Trouver la médiane

Ordonne les valeurs par ordre croissant.
Si le nombre de valeurs est impair, la médiane est la valeur du milieu.
Si pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs du milieu.

Trouver les quartiles

Ordonne les valeurs.
(Q_1) est la médiane de la première moitié (sans la médiane si effectif impair).
(Q_3) est la médiane de la seconde moitié.

Exemple corrigé

Énoncé : Voici les notes de 10 élèves : 8, 12, 15, 10, 14, 12, 9, 11, 13, 12.

Calcule la moyenne simple.
Calcule la moyenne pondérée si les coefficients sont : 8 (coef 1), 12 (coef 2), 15 (coef 1), 10 (coef 1), 14 (coef 2), 12 (coef 1), 9 (coef 1), 11 (coef 1), 13 (coef 1), 12 (coef 2).
Détermine la médiane et les quartiles.

Correction :

Moyenne simple : (8+12+15+10+14+12+9+11+13+12 = 116). (116 / 10 = 11,6).
Moyenne pondérée : somme des produits : (8\times1 + 12\times2 + 15\times1 + 10\times1 + 14\times2 + 12\times1 + 9\times1 + 11\times1 + 13\times1 + 12\times2 = 8+24+15+10+28+12+9+11+13+24 = 154). Somme des coefficients : (1+2+1+1+2+1+1+1+1+2 = 13). Moyenne = (154/13 \approx 11,85).
Notes ordonnées : 8, 9, 10, 11, 12, 12, 12, 13, 14, 15. Effectif pair (10), médiane = moyenne des 5e et 6e valeurs : ((12+12)/2 = 12). (Q_1) : médiane des 5 premières (8,9,10,11,12) = 10. (Q_3) : médiane des 5 dernières (12,12,13,14,15) = 13.

Erreurs fréquentes

Confondre moyenne simple et pondérée : vérifie toujours si les coefficients sont donnés.
Oublier de diviser par la somme des coefficients dans la moyenne pondérée.
Mal ordonner les valeurs pour la médiane et les quartiles.
Prendre la valeur du milieu sans vérifier si l'effectif est pair ou impair.
Confondre effectif et fréquence : la fréquence est un rapport, pas un nombre entier.

À retenir

Moyenne simple : somme des valeurs / nombre de valeurs.
Moyenne pondérée : somme (valeur × coefficient) / somme des coefficients.
Médiane : valeur centrale après tri.
Quartiles : (Q_1) (25%), (Q_3) (75%).
Dispersion : étendue = max - min ; écart interquartile = (Q_3 - Q_1).
Graphiques : diagramme en boîte pour visualiser médiane, quartiles, min, max.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris le cours, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu trouveras aussi des fiches de révision pour bien mémoriser les formules et les méthodes. Bon courage !