Médiane et quartiles

Ce qu'il faut comprendre

Quand tu as une série de données (par exemple les notes d'une classe), la moyenne te donne une valeur centrale, mais elle ne te dit pas comment les données sont réparties. Par exemple, deux classes peuvent avoir la même moyenne de 12, mais l'une a des notes très dispersées (de 2 à 18) et l'autre très regroupées (de 10 à 14). Pour mieux comprendre la dispersion, on utilise la médiane et les quartiles. Ces indicateurs permettent de voir comment les valeurs se répartissent autour du centre, et de repérer les valeurs extrêmes.

Les notions essentielles

Effectif et fréquence

• Effectif : nombre de fois qu'une valeur apparaît.
• Fréquence : effectif divisé par l'effectif total. Elle peut être exprimée en fraction, en décimal ou en pourcentage.

Médiane

La médiane est la valeur qui partage la série ordonnée en deux parties de même effectif. Autrement dit, au moins 50% des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, et au moins 50% sont supérieures ou égales.

• Si l'effectif total N est impair, la médiane est la valeur de rang (N+1)/2.
• Si N est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales (rangs N/2 et N/2+1).

Quartiles

Les quartiles divisent la série ordonnée en quatre parties de même effectif.

• Q1 (premier quartile) : valeur telle qu'au moins 25% des données lui sont inférieures ou égales.
• Q3 (troisième quartile) : valeur telle qu'au moins 75% des données lui sont inférieures ou égales.
• Écart interquartile = Q3 – Q1. Il mesure la dispersion autour de la médiane.

Représentation graphique : le diagramme en boîte (ou boîte à moustaches)

Ce graphique utilise la médiane, Q1, Q3, et les valeurs extrêmes (minimum et maximum) pour visualiser la dispersion.

Méthode

Pour calculer la médiane et les quartiles d'une série :

1. Ordonner les valeurs dans l'ordre croissant.
2. Calculer l'effectif total N.
3. Médiane :
   • Si N impair : médiane = valeur de rang (N+1)/2.
   • Si N pair : médiane = moyenne des valeurs de rang N/2 et N/2+1.
4. Quartiles :
   • Q1 : valeur de rang (N+1)/4 (si ce n'est pas un entier, on prend la valeur suivante).
   • Q3 : valeur de rang 3(N+1)/4 (même règle).
5. Écart interquartile = Q3 – Q1.

Exemple corrigé

Série : notes de 10 élèves : 5, 8, 12, 14, 15, 7, 10, 13, 9, 11.

1. Ordonner : 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.
2. N = 10 (pair).
3. Médiane : rangs 5 et 6 → valeurs 10 et 11 → médiane = (10+11)/2 = 10,5.
4. Q1 : rang (10+1)/4 = 2,75 → on prend la 3e valeur : 8.
5. Q3 : rang 3×(10+1)/4 = 8,25 → on prend la 9e valeur : 14.
6. Écart interquartile = 14 – 8 = 6.

Interprétation : 50% des élèves ont une note entre 8 et 14 (entre Q1 et Q3). La moitié des notes sont inférieures à 10,5 et l'autre moitié supérieures.

Erreurs fréquentes

• Confondre médiane et moyenne : la médiane est une valeur de position, pas une moyenne.
• Oublier d'ordonner la série : sans ordre, les calculs sont faux.
• Mal calculer les rangs : pour Q1 et Q3, on utilise (N+1)/4 et 3(N+1)/4, pas N/4.
• Prendre la valeur du rang non entier sans arrondir : si le rang n'est pas entier, on prend la valeur immédiatement supérieure.
• Croire que la médiane est toujours une valeur de la série : pour un effectif pair, ce n'est pas le cas (c'est une moyenne).

À retenir

• Médiane : valeur centrale qui partage la série en deux.
• Quartiles : Q1 (25%), Q3 (75%).
• Écart interquartile : mesure de dispersion.
• Toujours ordonner la série avant de calculer.
• Rangs : médiane = (N+1)/2 ; Q1 = (N+1)/4 ; Q3 = 3(N+1)/4.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris la méthode, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu peux aussi consulter la fiche de révision pour réviser les notions clés. Bon courage !