Lire une image et un antécédent sur une courbe

Ce qu'il faut comprendre

Quand on étudie une fonction, on s'intéresse à la relation entre deux grandeurs : un nombre de départ (l'antécédent) et un nombre d'arrivée (l'image). La courbe est une représentation visuelle de cette relation : chaque point de la courbe a une abscisse (l'antécédent) et une ordonnée (l'image).

Savoir lire une image ou un antécédent sur une courbe, c'est être capable de retrouver l'un à partir de l'autre. Par exemple, si on te donne un nombre x, tu dois pouvoir trouver f(x) sur la courbe. Inversement, si on te donne un nombre y, tu dois pouvoir trouver les x tels que f(x) = y.

Cette compétence est essentielle pour résoudre des équations graphiquement, comprendre le comportement d'une fonction, ou encore interpréter des données réelles.

Les notions essentielles

Fonction

Une fonction f associe à chaque nombre x (antécédent) un unique nombre f(x) (image). On note : f : x → f(x).

Image

L'image d'un nombre x par f est le nombre f(x). Sur la courbe, c'est l'ordonnée du point d'abscisse x.

Antécédent

Un antécédent d'un nombre y par f est un nombre x tel que f(x) = y. Sur la courbe, ce sont les abscisses des points d'ordonnée y. Attention : un nombre peut avoir plusieurs antécédents ou aucun.

Courbe

La courbe représentative de f est l'ensemble des points (x ; f(x)) dans un repère. Elle permet de visualiser la fonction.

Tableau de valeurs

Un tableau qui donne quelques images pour des antécédents choisis. Il sert à construire la courbe ou à vérifier des lectures.

Équation graphique

Résoudre graphiquement une équation f(x) = k, c'est trouver les antécédents de k sur la courbe. Résoudre f(x) = g(x), c'est trouver les abscisses des points d'intersection des courbes.

Méthode

Lire une image sur une courbe

Repère l'abscisse x donnée sur l'axe horizontal.
Trace une droite verticale passant par ce point.
Repère le point d'intersection avec la courbe.
Lis l'ordonnée de ce point sur l'axe vertical : c'est f(x).

Lire un antécédent sur une courbe

Repère l'ordonnée y donnée sur l'axe vertical.
Trace une droite horizontale passant par ce point.
Repère tous les points d'intersection avec la courbe.
Lis l'abscisse de chaque point sur l'axe horizontal : ce sont les antécédents de y.

Utiliser un tableau de valeurs

Pour trouver une image : cherche x dans la première ligne, lis f(x) dans la deuxième.
Pour trouver un antécédent : cherche y dans la deuxième ligne, lis x dans la première (attention : il peut y avoir plusieurs x).

Exemple corrigé

Soit la fonction f représentée par la courbe ci-dessous (imagine une courbe qui passe par les points (-2;1), (0;3), (2;1), (3;0)).

Question 1 : Lire f(0).

On cherche l'abscisse 0 sur l'axe horizontal.
On trace une verticale : elle coupe la courbe au point (0;3).
L'ordonnée est 3, donc f(0) = 3.

Question 2 : Lire f(2).

Abscisse 2 : la verticale coupe la courbe en (2;1).
Donc f(2) = 1.

Question 3 : Trouver les antécédents de 1.

On cherche l'ordonnée 1 sur l'axe vertical.
On trace une horizontale : elle coupe la courbe en deux points : (-2;1) et (2;1).
Les abscisses sont -2 et 2. Donc les antécédents de 1 sont -2 et 2.

Question 4 : Résoudre graphiquement f(x) = 0.

On cherche les antécédents de 0 : ordonnée 0.
L'horizontale coupe la courbe en (3;0).
Donc la solution est x = 3.

Erreurs fréquentes

Confondre image et antécédent : l'image est l'ordonnée, l'antécédent est l'abscisse. Pour t'en souvenir : "antécédent" commence par A comme abscisse.
Oublier qu'un antécédent peut être multiple : une horizontale peut couper la courbe plusieurs fois. Lis toutes les abscisses.
Lire approximativement : utilise une règle ou un bord de feuille pour être précis.
Inverser les axes : l'axe horizontal est pour les x (antécédents), le vertical pour les y (images).
Croire qu'une fonction est toujours définie : certains x n'ont pas d'image (hors domaine). Dans ce cas, la courbe n'existe pas pour ce x.

À retenir

Image = ordonnée d'un point de la courbe (lecture verticale).
Antécédent = abscisse d'un point de la courbe (lecture horizontale).
Pour lire une image : trace une verticale.
Pour lire un antécédent : trace une horizontale.
Un nombre peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents.
La courbe est l'ensemble des points (x ; f(x)).

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris la méthode, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu y trouveras des courbes variées et des tableaux de valeurs pour consolider ta maîtrise. Bon courage !