Lien entre fonction affine et droite

Ce qu'il faut comprendre

Tu as déjà vu les fonctions affines en classe de Seconde : une fonction affine s'écrit sous la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des nombres réels. Mais savais-tu que cette expression correspond aussi à l'équation d'une droite dans un repère ? En effet, si tu traces la courbe représentative de la fonction f, tu obtiens une droite. Le lien est très fort : une fonction affine est une droite, et réciproquement, toute droite non verticale peut être représentée par une fonction affine.

Ce lien te permet de passer facilement du monde des fonctions (calculs, images, antécédents) à celui de la géométrie (droites, pentes, intersections). Par exemple, résoudre une équation comme f(x) = g(x) revient à trouver l'abscisse du point d'intersection des deux droites. Comprendre cette correspondance t'aidera à mieux visualiser les problèmes et à les résoudre plus simplement.

Les notions essentielles

Équation réduite d'une droite

Une droite non verticale peut s'écrire sous la forme :

y = mx + p

• m est le coefficient directeur (ou pente) de la droite.
• p est l'ordonnée à l'origine (la valeur de y quand x = 0).

Cette équation s'appelle l'équation réduite de la droite. Elle est exactement la même que l'expression d'une fonction affine : f(x) = mx + p.

Pente (coefficient directeur)

La pente m mesure l'inclinaison de la droite :

• Si m > 0, la droite monte quand on se déplace vers la droite.
• Si m < 0, la droite descend.
• Si m = 0, la droite est horizontale.

La pente se calcule à partir de deux points A(xA; yA) et B(xB; yB) de la droite :

m = (yB - yA) / (xB - xA)

Attention : cette formule n'est valable que si xB ≠ xA (droite non verticale).

Ordonnée à l'origine

p est la valeur de y lorsque x = 0. C'est le point où la droite coupe l'axe des ordonnées (vertical).

Parallélisme

Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur (même pente).

Exemple : y = 2x + 3 et y = 2x - 5 sont parallèles car m = 2 pour les deux.

Intersection de deux droites

Pour trouver le point d'intersection de deux droites d'équations y = m1x + p1 et y = m2x + p2, on résout le système :

m1x + p1 = m2x + p2

On trouve x, puis on calcule y en remplaçant x dans l'une des équations.

Si les droites sont parallèles (m1 = m2), elles n'ont pas d'intersection (sauf si elles sont confondues, alors tous les points sont communs).

Méthode

1. Passer d'une fonction affine à une droite

Si on te donne f(x) = ax + b, la droite correspondante a pour équation y = ax + b. Tu peux la tracer en calculant deux points (par exemple pour x = 0 et x = 1).

2. Déterminer l'équation réduite d'une droite à partir de deux points

Étapes :

1. Calculer la pente m = (yB - yA) / (xB - xA).
2. Remplacer m dans y = mx + p.
3. Utiliser les coordonnées d'un point (par exemple A) pour trouver p : p = yA - m * xA.
4. Écrire l'équation : y = mx + p.

3. Vérifier le parallélisme

Comparer les coefficients directeurs : si m1 = m2, les droites sont parallèles.

4. Trouver l'intersection de deux droites

1. Écrire l'égalité des deux équations : m1x + p1 = m2x + p2.
2. Résoudre pour x.
3. Calculer y en remplaçant x dans l'une des équations.
4. Donner le point (x; y).

Exemple corrigé

Énoncé : Soit les droites D1 passant par A(1; 3) et B(3; 7), et D2 d'équation y = 2x - 1.

1. Déterminer l'équation réduite de D1.
2. Les droites D1 et D2 sont-elles parallèles ?
3. Trouver le point d'intersection de D1 et D2.

Correction :

1. Calcul de la pente de D1 : m = (7 - 3) / (3 - 1) = 4 / 2 = 2. Donc D1 : y = 2x + p. Avec A(1; 3) : 3 = 2*1 + p → p = 1. Équation : y = 2x + 1.

2. D1 a pour pente 2, D2 a pour pente 2. Elles ont la même pente, donc elles sont parallèles.

3. Puisqu'elles sont parallèles, elles n'ont pas de point d'intersection (sauf si elles sont confondues, mais ici p est différent : 1 ≠ -1). Donc pas d'intersection.

Remarque : Si les droites avaient été différentes, on aurait résolu 2x + 1 = 2x - 1, ce qui donne 1 = -1, impossible. Donc pas de solution.

Erreurs fréquentes

• Confondre pente et ordonnée à l'origine : la pente est le coefficient de x, pas le terme constant.
• Oublier que la formule de la pente nécessite xB ≠ xA : si xB = xA, la droite est verticale et n'a pas d'équation réduite (hors programme Seconde).
• Inverser les coordonnées dans le calcul de la pente : toujours (yB - yA) / (xB - xA), dans le même ordre.
• Croire que deux droites parallèles ont forcément des équations différentes : elles peuvent être confondues (même m et même p).
• Pour l'intersection, oublier de calculer y après avoir trouvé x : le point d'intersection a deux coordonnées.

À retenir

• Une fonction affine f(x) = ax + b correspond à une droite d'équation y = ax + b.
• Le coefficient a est la pente (ou coefficient directeur).
• L'ordonnée à l'origine b est le point où la droite coupe l'axe des y.
• Deux droites sont parallèles si elles ont la même pente.
• L'intersection de deux droites se trouve en résolvant l'égalité de leurs équations.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris le lien entre fonction affine et droite, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu trouveras des fiches pour t'aider à maîtriser le calcul de pente, la détermination d'équation réduite et la recherche d'intersections. Bon courage !