Image et antécédent

Ce qu'il faut comprendre

Quand on parle d'une fonction, on s'intéresse à la relation entre deux nombres : un nombre de départ (souvent noté x) et un nombre d'arrivée (souvent noté y ou f(x)).

L'image : c'est le nombre d'arrivée. Si tu prends un nombre x, son image par la fonction f est f(x).
L'antécédent : c'est le nombre de départ. Si tu as un nombre y, ses antécédents sont les x tels que f(x) = y.

En gros :

On te donne x, tu cherches f(x) → c'est l'image.
On te donne y, tu cherches les x tels que f(x) = y → ce sont les antécédents.

Les notions essentielles

Définition : image

Soit f une fonction définie sur un ensemble D (son domaine de définition). Pour tout nombre x de D, l'image de x par f est le nombre f(x).

Définition : antécédent

Soit f une fonction et y un nombre. Un antécédent de y par f est un nombre x (dans le domaine de définition) tel que f(x) = y.

Attention :

Un nombre peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun).
Un nombre a une seule image (si la fonction est bien définie).

Vocabulaire

Courbe représentative : ensemble des points (x ; f(x)).
Tableau de valeurs : tableau qui donne quelques images.
Équation graphique : résoudre f(x) = y graphiquement, c'est trouver les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite horizontale y = constante.

Méthode

Trouver une image

Par calcul : remplace x par la valeur dans l'expression de f(x).
Sur un graphique : place-toi sur l'axe des abscisses à la valeur x, monte (ou descends) verticalement jusqu'à la courbe, puis lis l'ordonnée.
Dans un tableau de valeurs : cherche la ligne x, lis la valeur f(x) correspondante.

Trouver un ou des antécédents

Par calcul : résous l'équation f(x) = y.
Sur un graphique : trace la droite horizontale y = constante, repère les points d'intersection avec la courbe, lis leurs abscisses.
Dans un tableau de valeurs : cherche la ligne où f(x) = y, lis les x correspondants (il peut y en avoir plusieurs).

Exemple corrigé

Soit f(x) = x^2 - 1.

1. Calcule l'image de 3.

f(3) = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8. L'image de 3 est 8.

2. Trouve les antécédents de 0.

On résout f(x) = 0, soit x^2 - 1 = 0. Donc x^2 = 1, donc x = 1 ou x = -1. Les antécédents de 0 sont 1 et -1.

3. Graphiquement, avec la courbe de f (parabole).

Pour l'image de 3 : on lit l'ordonnée du point d'abscisse 3 sur la courbe → 8.
Pour les antécédents de 0 : on trace la droite horizontale y = 0 (l'axe des abscisses). Elle coupe la courbe en deux points d'abscisses -1 et 1.

Erreurs fréquentes

Confondre image et antécédent : quand on te demande l'image de 2, tu cherches f(2). Quand on te demande les antécédents de 2, tu cherches x tels que f(x)=2.
Oublier qu'un antécédent peut être négatif : par exemple, pour f(x)=x^2, l'antécédent de 4 est 2 ET -2.
Croire qu'une image est toujours unique : c'est vrai, mais un antécédent peut être multiple.
Mal lire un graphique : pour un antécédent, tu lis l'abscisse (axe horizontal), pas l'ordonnée.
Oublier le domaine de définition : si x n'est pas dans le domaine, il n'a pas d'image.

À retenir

Image = résultat = f(x).
Antécédent = valeur de départ = x tel que f(x)=y.
Graphiquement : image → axe des ordonnées ; antécédent → axe des abscisses.
Un nombre a une seule image mais peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris la différence entre image et antécédent, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu peux aussi consulter les fiches de révision pour consolider ces notions.