Fonction affine : définition et exemples

Ce qu'il faut comprendre

Tu as déjà rencontré des situations où une grandeur varie de façon régulière. Par exemple, si tu paies un abonnement fixe de 10 € par mois, puis 2 € par séance dans une salle de sport, le coût total dépend du nombre de séances : c'est une fonction affine. Elle permet de modéliser des phénomènes où l'augmentation (ou la diminution) est constante. En Seconde, tu vas apprendre à reconnaître, représenter et utiliser ces fonctions, qui sont les plus simples après les fonctions linéaires.

Les notions essentielles

Définition

Une fonction affine est une fonction qui peut s'écrire sous la forme :

f(x) = a x + b

avec a et b deux nombres réels.

a est le coefficient directeur (ou pente). Il indique de combien augmente (ou diminue) f(x) quand x augmente de 1.
b est l'ordonnée à l'origine. C'est la valeur de f(0), donc le point où la droite coupe l'axe des ordonnées.

Cas particuliers

Si b = 0, la fonction est linéaire : f(x) = a x. C'est un cas particulier de fonction affine.
Si a = 0, la fonction est constante : f(x) = b.

Représentation graphique

La courbe d'une fonction affine est une droite.

Variations

Le sens de variation d'une fonction affine dépend du signe de a :

Si a > 0, la fonction est croissante (la droite monte).
Si a < 0, la fonction est décroissante (la droite descend).
Si a = 0, la fonction est constante (droite horizontale).

Fonctions de référence

En Seconde, tu étudies aussi deux autres fonctions :

Fonction carré : f(x) = x². Sa courbe est une parabole. Elle n'est pas affine.
Fonction inverse : f(x) = 1/x. Sa courbe est une hyperbole. Elle n'est pas affine.

Ces deux fonctions ne sont pas affines, mais elles sont importantes pour comparer et modéliser.

Méthode

1. Reconnaître une fonction affine

Vérifie si elle peut s'écrire sous la forme f(x) = a x + b.

2. Déterminer a et b à partir de deux points

Si tu connais deux points (x₁ ; y₁) et (x₂ ; y₂) de la droite :

Calcule a = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).
Puis trouve b en remplaçant x et y par les coordonnées d'un point : b = y₁ - a x₁.

3. Tracer la droite

Place le point (0 ; b) sur l'axe des ordonnées.
À partir de ce point, avance de 1 unité horizontalement et de a unités verticalement (si a > 0, vers le haut ; si a < 0, vers le bas). Place un deuxième point.
Trace la droite passant par ces deux points.

4. Étudier les variations

Regarde le signe de a :

a > 0 → croissante.
a < 0 → décroissante.
a = 0 → constante.

Exemple corrigé

Énoncé : Soit f la fonction affine telle que f(2) = 5 et f(4) = 9.

Détermine l'expression de f(x).
Quel est le sens de variation de f ?
Calcule f(0) et trace la droite.

Correction :

On a deux points : (2 ; 5) et (4 ; 9). a = (9 - 5) / (4 - 2) = 4 / 2 = 2. Avec le point (2 ; 5) : 5 = 2×2 + b → 5 = 4 + b → b = 1. Donc f(x) = 2x + 1.
a = 2 > 0, donc f est croissante.
f(0) = 2×0 + 1 = 1. La droite passe par (0 ; 1) et (2 ; 5).

Erreurs fréquentes

Confondre coefficient directeur et ordonnée à l'origine : a est la pente, b est la valeur en 0.
Oublier que la fonction linéaire est un cas particulier : f(x) = 3x est affine (b=0).
Croire que toute fonction dont la courbe est une droite est affine : oui, c'est vrai.
Inverser le calcul de a : (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) et non l'inverse.
Confondre fonction affine et fonction carré/inverse : ces dernières ne sont pas des droites.

À retenir

Une fonction affine s'écrit f(x) = a x + b.
Sa courbe est une droite.
Le coefficient directeur a donne la pente et le sens de variation.
L'ordonnée à l'origine b est f(0).
Pour trouver a et b à partir de deux points, calcule a = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁), puis b = y₁ - a x₁.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu trouveras des fiches pour t'aider à maîtriser les fonctions affines et à les distinguer des fonctions carré et inverse. Bon courage !