Factoriser une expression simple

Ce qu'il faut comprendre

Factoriser, c'est transformer une somme ou une différence en un produit. Concrètement, tu as une expression avec plusieurs termes (par exemple 3x + 6) et tu cherches à l'écrire sous la forme d'un produit de facteurs (par exemple 3(x + 2)).

Pourquoi c'est utile ? Factoriser permet de simplifier des calculs, de résoudre des équations et inéquations plus facilement, et de modéliser des situations. Par exemple, pour résoudre x^2 - 9 = 0, il est plus simple de factoriser en (x - 3)(x + 3) = 0 que de chercher une solution par tâtonnements.

Les notions essentielles

Définition

Factoriser une expression, c'est l'écrire sous la forme d'un produit de facteurs.

Vocabulaire

• Facteur commun : un nombre, une lettre ou une expression qui apparaît dans tous les termes d'une somme.
• Identité remarquable : formule de factorisation à connaître par cœur.

Les trois identités remarquables (à apprendre)

1. a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2
2. a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2
3. a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Propriété

Pour factoriser, on peut utiliser :

• le facteur commun (simple ou composé)
• les identités remarquables

Méthode

Étape 1 : Observer l'expression

Regarde si elle est composée de plusieurs termes (somme ou différence).

Étape 2 : Chercher un facteur commun

Vérifie si chaque terme contient un même facteur (nombre, lettre, parenthèse).

Étape 3 : Factoriser par le facteur commun

Écris le facteur commun multiplié par la somme des quotients de chaque terme par ce facteur.

Étape 4 : Si pas de facteur commun, regarder si c'est une identité remarquable

Compare avec les trois formes :

• a^2 + 2ab + b^2 → (a + b)^2
• a^2 - 2ab + b^2 → (a - b)^2
• a^2 - b^2 → (a - b)(a + b)

Étape 5 : Vérifier en développant

Développe le résultat pour retrouver l'expression de départ.

Exemple corrigé

Énoncé : Factorise l'expression A = 4x^2 - 12x + 9.

Correction :

1. Observe : c'est une somme de trois termes.
2. Cherche un facteur commun : 4, 12 et 9 n'ont pas de facteur commun évident, et il n'y a pas de x dans le dernier terme. Donc pas de facteur commun.
3. Regarde si c'est une identité remarquable :
   • 4x^2 est le carré de 2x (car (2x)^2 = 4x^2).
   • 9 est le carré de 3.
   • Le terme du milieu -12x est égal à 2 * 2x * 3 ? 2 * 2x * 3 = 12x, oui, avec un signe moins.
   • On reconnaît a^2 - 2ab + b^2 avec a = 2x et b = 3.
4. Factorise : A = (2x - 3)^2.
5. Vérifie en développant : (2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9. C'est bon.

Réponse : A = (2x - 3)^2.

Erreurs fréquentes

• Oublier le facteur commun : Par exemple, dans 5x + 10, ne pas voir que 5 est facteur commun.
• Confondre les identités : Par exemple, écrire x^2 - 4 = (x - 2)^2 au lieu de (x - 2)(x + 2).
• Mal factoriser un facteur commun : Par exemple, 6x + 9 = 3(2x + 3) est correct, mais certains écrivent 3(2x + 9).
• Oublier le signe : Dans -3x + 6, le facteur commun peut être -3 : -3(x - 2).
• Ne pas vérifier : Toujours développer pour contrôler.

À retenir

• Factoriser = transformer une somme en produit.
• Deux méthodes : facteur commun et identités remarquables.
• Les trois identités : (a+b)^2, (a-b)^2, (a-b)(a+b).
• Toujours vérifier en développant.

Pour s'entraîner

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