Étendue et dispersion

Ce qu'il faut comprendre

Quand tu regardes une série statistique, tu as souvent besoin de savoir comment les valeurs sont réparties. Par exemple, si tu compares les notes de deux classes : dans la classe A, tout le monde a entre 12 et 14 ; dans la classe B, les notes vont de 2 à 20. Pourtant, les deux classes peuvent avoir la même moyenne (par exemple 13). La moyenne seule ne suffit pas : il faut aussi mesurer l'étendue et la dispersion pour voir si les valeurs sont regroupées ou éparpillées.

Étendue : c'est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. Elle te donne une première idée de l'écart entre les extrêmes.

Dispersion : c'est la manière dont les valeurs s'éloignent du centre (moyenne ou médiane). On utilise souvent les quartiles et l'écart interquartile pour mesurer la dispersion autour de la médiane.

Les notions essentielles

Effectif et fréquence

Effectif : nombre de fois qu'une valeur apparaît (ou nombre d'individus dans une classe).
Fréquence : effectif divisé par l'effectif total. Elle peut être exprimée en fraction, en décimal ou en pourcentage.

Moyenne

Moyenne : somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs. Pour des données regroupées, on utilise le centre de chaque classe.

Médiane

Médiane : valeur qui partage la série ordonnée en deux parties de même effectif. Si l'effectif total est impair, c'est la valeur du milieu ; si pair, c'est la moyenne des deux valeurs centrales.

Quartiles

Premier quartile (Q1) : valeur telle qu'au moins 25% des données lui sont inférieures ou égales.
Troisième quartile (Q3) : valeur telle qu'au moins 75% des données lui sont inférieures ou égales.
Écart interquartile : Q3 – Q1. Il mesure la dispersion autour de la médiane (les 50% du milieu).

Étendue

Étendue : valeur maximale – valeur minimale.

Dispersion

La dispersion est l'étalement des valeurs. Plus l'écart interquartile ou l'étendue est grand, plus les valeurs sont dispersées.

Graphique : diagramme en boîte (boîte à moustaches)

Il représente : minimum, Q1, médiane, Q3, maximum.
La boîte va de Q1 à Q3, avec un trait pour la médiane. Les moustaches vont du min au max.

Méthode

Pour étudier l'étendue et la dispersion d'une série :

Ordonner les données du plus petit au plus grand.
Calculer l'étendue : max – min.
Déterminer la médiane :
- Si effectif total N impair : médiane = valeur à la position (N+1)/2.
- Si N pair : médiane = moyenne des valeurs aux positions N/2 et N/2+1.
Calculer Q1 et Q3 :
- Q1 : médiane de la première moitié (valeurs strictement inférieures à la médiane si N impair, sinon moitié inférieure).
- Q3 : médiane de la seconde moitié.
Calculer l'écart interquartile : Q3 – Q1.
Représenter éventuellement par un diagramme en boîte.

Exemple corrigé

Énoncé : Voici les notes (sur 20) de 10 élèves : 5, 8, 10, 12, 12, 13, 14, 15, 18, 20. Calcule l'étendue, la médiane, les quartiles et l'écart interquartile.

Correction :

Ordonner : déjà fait : 5, 8, 10, 12, 12, 13, 14, 15, 18, 20.
Étendue : max – min = 20 – 5 = 15.
Médiane : N = 10 (pair). Positions : 10/2 = 5 et 5+1 = 6. Les 5e et 6e valeurs sont 12 et 13. Médiane = (12+13)/2 = 12,5.
Quartiles :
- Première moitié (valeurs avant la médiane) : 5, 8, 10, 12, 12. Q1 est la médiane de cette moitié : N' = 5 (impair) → position (5+1)/2 = 3 → Q1 = 10.
- Seconde moitié (après la médiane) : 13, 14, 15, 18, 20. Q3 est la médiane : position 3 → Q3 = 15.
Écart interquartile : Q3 – Q1 = 15 – 10 = 5.

Interprétation : L'étendue est grande (15), mais l'écart interquartile est modéré (5) : la moitié centrale des notes est assez resserrée entre 10 et 15.

Erreurs fréquentes

Confondre étendue et écart interquartile : l'étendue utilise les extrêmes, l'écart interquartile utilise les quartiles.
Mal calculer la médiane : ne pas oublier d'ordonner les données. Si N pair, prendre la moyenne des deux valeurs centrales.
Oublier que Q1 et Q3 sont des médianes de moitiés : pour N impair, ne pas inclure la médiane dans les moitiés.
Croire que l'étendue suffit : deux séries peuvent avoir la même étendue mais des dispersions très différentes (ex : 0 et 20 vs 10 et 10).

À retenir

Étendue = max – min.
Médiane = valeur centrale (ou moyenne des deux centrales).
Q1 = 25% des données en dessous ; Q3 = 75% en dessous.
Écart interquartile = Q3 – Q1 : mesure robuste de la dispersion.
Diagramme en boîte : visualise min, Q1, médiane, Q3, max.

Pour s'entraîner

Tu peux maintenant t'exercer avec les fiches et quiz AlloSeconde sur les statistiques descriptives. N'oublie pas de toujours ordonner les données et de vérifier tes calculs de quartiles !