Droites parallèles et coefficients directeurs

Ce qu'il faut comprendre

Tu as déjà vu que toute droite non verticale peut s'écrire sous la forme y = mx + p, où m est le coefficient directeur (la pente) et p l'ordonnée à l'origine. Cette équation s'appelle l'équation réduite de la droite.

Deux droites peuvent être parallèles (elles ne se coupent jamais) ou sécantes (elles se coupent en un point). Le coefficient directeur permet de savoir tout de suite si deux droites sont parallèles ou non, sans avoir à les tracer.

Les notions essentielles

Coefficient directeur (ou pente)

Dans l'équation réduite y = mx + p, le nombre m est le coefficient directeur.
Il indique l'inclinaison de la droite : plus m est grand (en valeur absolue), plus la droite monte (ou descend) vite.
Si m > 0, la droite « monte » quand on va de gauche à droite.
Si m < 0, la droite « descend ».
Si m = 0, la droite est horizontale (parallèle à l'axe des abscisses).

Droites parallèles

Propriété fondamentale : Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

Autrement dit :

Si (d1) : y = m1 x + p1
et (d2) : y = m2 x + p2
Alors (d1) // (d2) ⇔ m1 = m2.

Attention : Si les deux droites sont verticales (équation de la forme x = c), elles sont toujours parallèles entre elles. Mais dans ce cours, on se concentre sur les droites non verticales.

Cas particulier : droites confondues

Deux droites sont confondues (c'est-à-dire qu'elles sont les mêmes) si elles ont le même coefficient directeur et la même ordonnée à l'origine. Dans ce cas, elles sont aussi parallèles (mais on dit plutôt qu'elles sont confondues).

Intersection de deux droites

Si deux droites ont des coefficients directeurs différents, elles sont sécantes : elles se coupent en un unique point.
Si elles ont le même coefficient directeur mais des ordonnées à l'origine différentes, elles sont parallèles distinctes (jamais de point d'intersection).
Si elles ont le même coefficient directeur et la même ordonnée à l'origine, elles sont confondues (une infinité de points d'intersection).

Méthode

Pour déterminer si deux droites sont parallèles, suis ces étapes :

Mets chaque droite sous forme réduite (y = mx + p) si ce n'est pas déjà le cas.
- Si une droite est donnée sous forme ax + by + c = 0, isole y pour obtenir y = ...
- Si la droite est verticale (x = constante), elle est parallèle à toute autre droite verticale, mais on ne peut pas utiliser la méthode du coefficient directeur.
Lis les coefficients directeurs m1 et m2.
Compare-les :
- Si m1 = m2, alors les droites sont parallèles (ou confondues).
- Si m1 ≠ m2, elles sont sécantes.
Pour savoir si elles sont confondues ou parallèles distinctes, compare aussi les ordonnées à l'origine p1 et p2 :
- Si m1 = m2 et p1 = p2 → confondues.
- Si m1 = m2 et p1 ≠ p2 → parallèles distinctes.

Exemple corrigé

Énoncé : On considère les droites (d1) : y = 2x + 3 et (d2) : 4x - 2y + 5 = 0. Les droites (d1) et (d2) sont-elles parallèles ?

Correction :

(d1) est déjà sous forme réduite : m1 = 2, p1 = 3.
Pour (d2), on isole y : 4x - 2y + 5 = 0 → -2y = -4x - 5 → y = 2x + 2,5 Donc m2 = 2, p2 = 2,5.
On compare : m1 = 2 et m2 = 2 → ils sont égaux. Donc (d1) et (d2) sont parallèles.
Comme p1 = 3 et p2 = 2,5 sont différents, les droites sont parallèles distinctes (elles ne se coupent pas).

Erreurs fréquentes

Confondre parallélisme et perpendicularité : deux droites perpendiculaires n'ont pas le même coefficient directeur (le produit de leurs coefficients vaut -1, mais ce n'est pas au programme de Seconde).
Oublier de mettre sous forme réduite : si tu compares les coefficients directeurs sans avoir isolé y, tu risques de te tromper.
Croire que deux droites parallèles ont forcément la même ordonnée à l'origine : non, elles ont seulement le même coefficient directeur.
Penser qu'une droite horizontale (m=0) n'est parallèle à rien : si, elle est parallèle à toute autre droite horizontale.
Confondre droite verticale et horizontale : une droite verticale n'a pas de coefficient directeur (on ne peut pas l'écrire y = mx + p).

À retenir

Deux droites non verticales sont parallèles ⇔ elles ont le même coefficient directeur.
Si en plus elles ont la même ordonnée à l'origine, elles sont confondues.
Si les coefficients directeurs sont différents, les droites sont sécantes.
Pour comparer, mets toujours les équations sous la forme y = mx + p.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris le cours, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu trouveras des fiches pour vérifier si deux droites sont parallèles, déterminer l'équation d'une droite parallèle à une autre, et bien plus encore. Bon courage !