Domaine de définition en seconde

Ce qu'il faut comprendre

Quand on te donne une fonction, par exemple ( f(x) = \frac{1}{x-2} ), tu ne peux pas toujours calculer ( f(x) ) pour n'importe quelle valeur de ( x ). Parfois, le calcul est impossible (comme diviser par zéro) ou n'a pas de sens. Le domaine de définition est l'ensemble des valeurs de ( x ) pour lesquelles la fonction est définie, c'est-à-dire pour lesquelles on peut calculer une image.

En seconde, on rencontre surtout deux cas où une fonction n'est pas définie :

Quand le dénominateur est nul (dans une fraction).
Quand la racine carrée d'un nombre négatif (mais ce cas est souvent vu en première ; ici on se concentre sur les fractions).

Le domaine de définition est souvent noté ( D_f ) ou ( \mathcal{D}_f ).

Les notions essentielles

Fonction : une relation qui, à chaque nombre ( x ) d'un ensemble de départ, associe au plus un nombre ( y ), noté ( f(x) ).
Image : le résultat ( f(x) ) pour un ( x ) donné. On dit que ( f(x) ) est l'image de ( x ).
Antécédent : un nombre ( x ) tel que ( f(x) = y ). Un nombre ( y ) peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents.
Courbe : ensemble des points ( (x ; f(x)) ) dans un repère. Elle permet de visualiser la fonction.
Tableau de valeurs : tableau qui donne quelques images pour des ( x ) choisis.
Équation graphique : résoudre ( f(x) = k ) graphiquement, c'est trouver les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite horizontale ( y = k ).

Domaine de définition : ensemble des ( x ) pour lesquels ( f(x) ) existe. On le détermine en éliminant les valeurs interdites.

Méthode

Pour trouver le domaine de définition d'une fonction :

Identifier les expressions problématiques : fractions, racines carrées (mais en seconde, on se limite aux fractions).
Pour une fraction : le dénominateur ne doit pas être nul. On résout l'équation "dénominateur = 0" et on exclut les solutions.
Écrire le domaine : souvent sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles.

Exemple : ( f(x) = \frac{3}{x-5} )

Dénominateur : ( x-5 ). On interdit ( x-5 = 0 ), donc ( x = 5 ).
Domaine : tous les réels sauf 5. En notation : ( \mathbb{R} \setminus {5} ) ou ( ]-\infty ; 5[ \cup ]5 ; +\infty[ ).

Pour une somme ou produit : pas de restriction (sauf si un terme est une fraction).

Exemple corrigé

Énoncé : Soit ( f(x) = \frac{2x+1}{x^2-4} ). Détermine le domaine de définition de ( f ).

Correction :

La fonction est une fraction. Le dénominateur est ( x^2-4 ).
On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur : ( x^2-4 = 0 ).
- Factorisation : ( (x-2)(x+2) = 0 ).
- Solutions : ( x = 2 ) ou ( x = -2 ).
Ces deux valeurs sont interdites. Donc le domaine est tous les réels sauf -2 et 2.
En notation : ( \mathbb{R} \setminus {-2 ; 2} ) ou ( ]-\infty ; -2[ \cup ]-2 ; 2[ \cup ]2 ; +\infty[ ).

Vérification : Pour ( x = 0 ), ( f(0) = \frac{1}{-4} = -0,25 ), ça marche. Pour ( x = 2 ), on aurait ( \frac{5}{0} ) impossible.

Erreurs fréquentes

Oublier d'exclure les valeurs interdites : toujours vérifier le dénominateur.
Confondre image et antécédent : l'image est le résultat, l'antécédent est l'entrée.
Mal écrire les intervalles : par exemple, pour ( x \neq 2 ), écrire ( ]-\infty ; 2[ \cup ]2 ; +\infty[ ) et non ( ]-\infty ; 2] \cup [2 ; +\infty[ ) (car 2 est exclu).
Croire que le domaine est toujours ( \mathbb{R} ) : non, les fractions imposent des restrictions.
Pour une racine carrée : en seconde, on ne voit que les fractions. Si tu vois une racine, demande à ton prof si c'est au programme.

À retenir

Le domaine de définition est l'ensemble des ( x ) pour lesquels ( f(x) ) existe.
Pour une fraction, on exclut les valeurs qui annulent le dénominateur.
On note le domaine avec des intervalles ou ( \mathbb{R} ) privé de quelques valeurs.
Savoir lire une image sur une courbe (lecture graphique) et trouver un antécédent.
Un tableau de valeurs aide à comprendre la fonction.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris, entraîne-toi avec les exercices et quiz sur AlloSeconde ! Tu trouveras des fiches pour t'aider à maîtriser le domaine de définition et les autres notions du chapitre.