Diagrammes, histogrammes et boîtes à moustaches

Ce qu'il faut comprendre

En statistiques, on collecte souvent des données (par exemple les notes d'une classe, les tailles des élèves, les températures d'une semaine). Pour y voir plus clair, on utilise des graphiques qui permettent de visualiser rapidement les tendances, les valeurs extrêmes ou la répartition des données.

Diagrammes : utiles pour des données qualitatives (couleurs, sports préférés) ou quantitatives discrètes (nombre de frères et sœurs).
Histogrammes : parfaits pour des données quantitatives continues (tailles, poids) regroupées en classes.
Boîtes à moustaches : donnent un résumé visuel de la dispersion (étendue, quartiles, médiane) et permettent de comparer plusieurs séries.

Ces outils t'aident à décrire une série statistique de façon synthétique.

Les notions essentielles

Vocabulaire de base

Effectif : nombre de fois qu'une valeur apparaît. Par exemple, si 5 élèves ont 12/20, l'effectif de la note 12 est 5.
Fréquence : effectif divisé par l'effectif total. Elle peut être exprimée en fraction, en décimal ou en pourcentage. Par exemple, fréquence = 5/25 = 0,2 = 20%.

Diagrammes

Diagramme en bâtons : pour des valeurs discrètes. Chaque valeur est représentée par un bâton vertical dont la hauteur est l'effectif (ou la fréquence).
Diagramme circulaire (ou camembert) : pour des données qualitatives. Chaque catégorie est représentée par un secteur dont l'angle est proportionnel à l'effectif (angle = effectif / total × 360°).

Histogramme

Utilisé pour des données regroupées en classes (par exemple [0;5[, [5;10[, etc.).
L'aire de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif de la classe. Si les classes ont la même amplitude, la hauteur est directement l'effectif.
Amplitude d'une classe : différence entre la borne supérieure et la borne inférieure.

Boîte à moustaches (ou diagramme en boîte)

Elle représente 5 nombres :

Minimum : la plus petite valeur de la série.
1er quartile (Q1) : valeur qui sépare les 25% des données les plus petites.
Médiane (Me) : valeur qui sépare la série en deux parties égales (50% des données en dessous, 50% au-dessus).
3e quartile (Q3) : valeur qui sépare les 75% des données les plus petites.
Maximum : la plus grande valeur.

La boîte s'étend de Q1 à Q3, avec un trait pour la médiane. Les « moustaches » vont du minimum à Q1 et de Q3 au maximum.

Moyenne

Moyenne simple : somme des valeurs divisée par l'effectif total.
Moyenne pondérée : si les valeurs ont des coefficients (effectifs), on calcule (somme des (valeur × effectif)) / effectif total.

Médiane et quartiles

Pour calculer la médiane : on ordonne les valeurs. Si l'effectif total N est impair, la médiane est la valeur de rang (N+1)/2. Si N est pair, on prend la moyenne des deux valeurs centrales.
Q1 : valeur de rang N/4 (arrondi à l'entier supérieur si nécessaire).
Q3 : valeur de rang 3N/4.

Dispersion

Étendue = maximum – minimum.
Écart interquartile = Q3 – Q1. Il mesure la dispersion autour de la médiane.

Méthode

Construire un diagramme en bâtons

Lister les valeurs distinctes et leurs effectifs.
Sur un axe horizontal, placer les valeurs. Sur l'axe vertical, les effectifs.
Tracer un bâton vertical pour chaque valeur, de hauteur égale à l'effectif.

Construire un histogramme

Définir des classes de même amplitude (par exemple [0;10[, [10;20[, etc.).
Calculer l'effectif de chaque classe.
Sur l'axe horizontal, placer les classes. Sur l'axe vertical, les effectifs (ou la densité si amplitudes différentes).
Dessiner des rectangles contigus dont la hauteur est l'effectif (si amplitudes égales).

Construire une boîte à moustaches

Ordonner les données.
Calculer le minimum, Q1, médiane, Q3, maximum.
Tracer un axe gradué.
Placer un rectangle de Q1 à Q3, avec un trait à la médiane.
Tracer les moustaches : du minimum à Q1, et de Q3 au maximum.

Calculer moyenne et médiane

Moyenne : (somme des valeurs) / N.
Médiane : après avoir ordonné, trouver la valeur centrale.

Exemple corrigé

Énoncé : Voici les notes (sur 20) de 10 élèves : 8, 12, 15, 6, 14, 10, 12, 18, 9, 11.

Calculer la moyenne, la médiane, Q1 et Q3.
Construire la boîte à moustaches.

Correction :

Moyenne : (8+12+15+6+14+10+12+18+9+11) / 10 = 115/10 = 11,5.
Ordonnons les notes : 6, 8, 9, 10, 11, 12, 12, 14, 15, 18.
- Effectif total N = 10 (pair). Médiane = moyenne des 5e et 6e valeurs : (11+12)/2 = 11,5.
- Q1 : rang N/4 = 10/4 = 2,5 → on prend la 3e valeur (arrondi supérieur) : 9.
- Q3 : rang 3N/4 = 30/4 = 7,5 → on prend la 8e valeur : 14.
Boîte à moustaches :
- Minimum = 6, Q1 = 9, Médiane = 11,5, Q3 = 14, Maximum = 18.
- Tracer un axe de 0 à 20, placer ces points, dessiner la boîte de 9 à 14 avec un trait à 11,5, et les moustaches de 6 à 9 et de 14 à 18.

Erreurs fréquentes

Confondre moyenne et médiane : la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, pas la médiane. Par exemple, si une note est très basse, la moyenne baisse mais la médiane peut rester stable.
Mal calculer les quartiles : bien ordonner les données et utiliser la bonne méthode (certains manuels utilisent des définitions légèrement différentes, mais en Seconde on prend le rang arrondi à l'entier supérieur pour Q1 et Q3).
Oublier que l'histogramme utilise l'aire : si les classes n'ont pas la même amplitude, il faut ajuster la hauteur (densité = effectif / amplitude).
Inverser Q1 et Q3 : Q1 est toujours inférieur ou égal à Q3.
Tracer une boîte à moustaches sans échelle : toujours graduer l'axe.

À retenir

Diagramme en bâtons : valeurs discrètes, hauteur = effectif.
Histogramme : données en classes, aire = effectif.
Boîte à moustaches : résume min, Q1, médiane, Q3, max.
Moyenne = somme des valeurs / effectif total.
Médiane = valeur centrale après tri.
Étendue = max – min ; écart interquartile = Q3 – Q1.

Pour s'entraîner

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