Développer et réduire une expression littérale

Ce qu'il faut comprendre

Quand tu fais des calculs avec des lettres (comme x, y, a, b), tu manipules des expressions littérales. Par exemple : 3x + 5 - 2x + 7. Le but est souvent de simplifier ces expressions pour les rendre plus courtes et plus faciles à utiliser. Développer, c'est transformer un produit en somme ou en différence. Par exemple, 3(x + 2) devient 3x + 6. Réduire, c'est regrouper les termes de même nature (les x avec les x, les nombres avec les nombres). Ensemble, développer et réduire permet d'obtenir une expression la plus simple possible.

Pourquoi c'est utile ? En Seconde, tu t'en sers pour résoudre des équations, des inéquations, ou pour modéliser des problèmes concrets (par exemple, calculer une aire, un bénéfice, etc.).

Les notions essentielles

Définition : expression littérale

Une expression littérale contient des lettres qui représentent des nombres inconnus ou variables. Exemple : 2x + 3y - 5.

Développer

Développer, c'est transformer un produit en une somme (ou une différence). On utilise la distributivité :

Simple distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b
Double distributivité : (a + b)(c + d) = a×c + a×d + b×c + b×d

Réduire

Réduire, c'est regrouper les termes de même nature (les termes en x^2, en x, les constantes) et les additionner ou soustraire. Par exemple : 3x + 2x = 5x ; 4x^2 - x^2 = 3x^2.

Identités remarquables (à connaître par cœur)

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Équations et inéquations

Une équation est une égalité qui contient une inconnue (souvent x). Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l'égalité vraie. Une inéquation est une inégalité (<, >, ≤, ≥). On les résout en isolant x, en utilisant les mêmes règles que pour les équations, mais attention : si on multiplie ou divise par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité.

Modélisation

C'est le fait de traduire un problème concret en langage mathématique (équation, inéquation, expression littérale). Par exemple : "Un rectangle a une longueur double de sa largeur. Son périmètre est 30 cm. Quelles sont ses dimensions ?" se traduit par : largeur = x, longueur = 2x, périmètre = 2(x + 2x) = 30.

Méthode

Pour développer et réduire une expression :

Repérer les produits à développer (distributivité simple ou double, identités remarquables).
Appliquer la distributivité ou l'identité remarquable.
Supprimer les parenthèses en faisant attention aux signes (si un signe moins est devant une parenthèse, on change tous les signes à l'intérieur).
Regrouper les termes de même nature : les x^2 avec les x^2, les x avec les x, les constantes avec les constantes.
Additionner ou soustraire les coefficients.
Vérifier qu'on n'a pas oublié de termes.

Pour résoudre une équation ou inéquation :

Développer et réduire chaque membre si nécessaire.
Regrouper les termes contenant l'inconnue dans un membre, les constantes dans l'autre (en changeant de signe si on change de membre).
Réduire chaque membre.
Isoler l'inconnue : diviser par le coefficient (attention au signe pour les inéquations).
Vérifier la solution en remplaçant dans l'équation de départ.

Exemple corrigé

Énoncé : Développe et réduis l'expression A = (2x + 3)(x - 4) - (x - 1)^2.

Correction :

On développe le premier produit avec la double distributivité : (2x + 3)(x - 4) = 2x × x + 2x × (-4) + 3 × x + 3 × (-4) = 2x^2 - 8x + 3x - 12 = 2x^2 - 5x - 12.
On développe (x - 1)^2 avec l'identité remarquable (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 : (x - 1)^2 = x^2 - 2×x×1 + 1^2 = x^2 - 2x + 1.
On réécrit A en faisant attention au signe moins devant la parenthèse : A = (2x^2 - 5x - 12) - (x^2 - 2x + 1) = 2x^2 - 5x - 12 - x^2 + 2x - 1.
On regroupe les termes de même nature :
- Termes en x^2 : 2x^2 - x^2 = x^2.
- Termes en x : -5x + 2x = -3x.
- Constantes : -12 - 1 = -13.
On obtient A = x^2 - 3x - 13.

Vérification : On peut tester avec x = 0 : expression de départ : (0+3)(0-4) - (0-1)^2 = 3×(-4) - 1 = -12 - 1 = -13 ; expression réduite : 0 - 0 - 13 = -13. C'est bon.

Erreurs fréquentes

Oublier de distribuer sur tous les termes : par exemple, 3(2x + 5) = 6x + 15, pas 6x + 5.
Erreur de signe avec un moins devant une parenthèse : par exemple, -(x - 3) = -x + 3, pas -x - 3.
Confondre (a + b)^2 avec a^2 + b^2 : (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4, pas x^2 + 4.
Oublier de réduire : laisser 3x + 2x sans additionner.
Dans les inéquations, oublier de changer le sens quand on multiplie/divise par un négatif : par exemple, -2x > 4 donne x < -2, pas x > -2.

À retenir

Développer = transformer un produit en somme.
Réduire = regrouper les termes de même nature.
Trois identités remarquables à connaître : (a+b)^2, (a-b)^2, (a+b)(a-b).
Pour résoudre une équation/inéquation, on isole x en appliquant les mêmes opérations des deux côtés, en faisant attention au signe pour les inéquations.
Toujours vérifier sa solution.

Pour s'entraîner

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